Feladat: B.3531 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Bergmann Gábor ,  Bóka Gergely ,  Eckert Bernadett ,  Gyarmati Ákos ,  Hamar Gergő ,  Horváth Márton ,  Jeitai Kálmán ,  Jesch Dávid ,  Kiss-Tóth Christián ,  Lajkó Miklós ,  Nagy Szabolcs ,  Pach Péter Pál ,  Pallos Péter ,  Puskás Anna ,  Rácz Éva ,  Sándor Ágnes ,  Sándor Nóra Katalin ,  Simon Balázs 
Füzet: 2002/december, 537 - 538. oldal  PDF file
Témakör(ök): Beírt kör, Síkgeometriai bizonyítások, Háromszögek geometriája, Szinusztétel alkalmazása, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2002/február: B.3531

Az ABC háromszög O középpontú beírt körének az oldalakon levő érintési pontjai (a szokásos jelölésekkel) A1, B1, C1. Az A1O, B1O, C1O egyenesek rendre az A2, B2, C2 pontokban metszik a B1C1, C1A1, A1B1 szakaszokat. Bizonyítsuk be, hogy az AA2, BB2 és CC2 egyenesek egy ponton mennek át.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megmutatjuk, hogy az AA2, BB2 és CC2 egyenesek megegyeznek az ABC háromszög súlyvonalaival. Ebből feladatunk állítása nyilván következik.

 
 

1. ábra
 

Először egy lemmát igazolunk: Legyen a KLM háromszög LM oldalának tetszőleges pontja P. Ekkor
LPPM=KLsinPKLKMsinPKM.(1)

 
Bizonyítás. A PKL háromszögben a szinusztétel szerint (1. ábra):
LPKL=sinPKLsinKPL;(2)
a PKM háromszögben pedig ugyancsak a szinusztétel szerint:
PMKM=sinPKMsinKPM.(3)
A (2) egyenlőséget elosztva (3)-mal, majd rendezve (és felhasználva, hogy mivel KPL=180-KPM, azért sinKPL=sinKPM), éppen a bizonyítandó (1) összefüggést kapjuk.
Térjünk vissza eredeti feladatunkhoz. Jelöljük az ABC háromszög szögeit a szokásos módon α, β, γ-val, legyen C1AA2=α1, B1AA2=α2, az AA2 egyenes és a BC oldal metszéspontja pedig F (2. ábra). Az OC1BA1 négyszög C1-nél és A1-nél lévő szögei derékszögek, ezért C1OA1=180-β, vagyis C1OA2=β. Ugyanígy kapjuk, hogy B1OA2=γ. Alkalmazzuk lemmánkat az OB1C1 háromszögre és az A2 pontra:
B1A2A2C1=OB1sinγOC1sinβ.

Az AB1C1 háromszögre és az A2 pontra alkalmazva a lemmát:
 
 

2. ábra
 

B1A2A2C1=AB1sinα2AC1sinα1.
Mivel OB1=OC1 (mindkettő a beírt kör sugara) és AB1=AC1 (mindkettő A-ból a beírt körhöz húzott érintőszakasz), a fenti összefüggésekből következik, hogy
sinγsinβ=sinα2sinα1.(4)

Írjuk fel lemmánkat most az ABC háromszögre és az F pontra:
BFFC=ABsinα1ACsinα2.
Ebből (4), valamint az ABC háromszögre vonatkozó szinusztétel felhasználásával
BFFC=ABsinβACsinγ=1
következik, azaz F valóban felezi a BC oldalt. Ugyanígy kapjuk, hogy a BB2 és a CC2 egyenesek is súlyvonalak az ABC háromszögben.