Kezdőlap


Feladat:	B.3531	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Bergmann Gábor , Bóka Gergely , Eckert Bernadett , Gyarmati Ákos , Hamar Gergő , Horváth Márton , Jeitai Kálmán , Jesch Dávid , Kiss-Tóth Christián , Lajkó Miklós , Nagy Szabolcs , Pach Péter Pál , Pallos Péter , Puskás Anna , Rácz Éva , Sándor Ágnes , Sándor Nóra Katalin , Simon Balázs
Füzet:	2002/december, 537 - 538. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Beírt kör, Síkgeometriai bizonyítások, Háromszögek geometriája, Szinusztétel alkalmazása, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2002/február: B.3531

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megmutatjuk, hogy az $A A_{2}$ , $B B_{2}$ és $C C_{2}$ egyenesek megegyeznek az $A B C$ háromszög súlyvonalaival. Ebből feladatunk állítása nyilván következik.

1. ábra

Először egy lemmát igazolunk: Legyen a

K L M

háromszög

L M

oldalának tetszőleges pontja

P

. Ekkor

\begin{matrix} \frac{L P}{P M} = \frac{K L \cdot sin P K L ∢}{K M \cdot sin P K M ∢} . \end{matrix}

(1)

Bizonyítás. A

P K L

háromszögben a szinusztétel szerint (1. ábra):

\begin{matrix} \frac{L P}{K L} = \frac{sin P K L ∢}{sin K P L ∢}; \end{matrix}

(2)

P K M

háromszögben pedig ugyancsak a szinusztétel szerint:

\begin{matrix} \frac{P M}{K M} = \frac{sin P K M ∢}{sin K P M ∢} . \end{matrix}

(3)

A (2) egyenlőséget elosztva (3)-mal, majd rendezve (és felhasználva, hogy mivel

K P L ∢ = 180^{\circ} - K P M ∢

, azért

sin K P L ∢ = sin K P M ∢

), éppen a bizonyítandó (1) összefüggést kapjuk.
Térjünk vissza eredeti feladatunkhoz. Jelöljük az

A B C

háromszög szögeit a szokásos módon

α

β

γ

-val, legyen

C_{1} A A_{2} ∢ = α_{1}

B_{1} A A_{2} ∢ = α_{2}

, az

A A_{2}

egyenes és a

B C

oldal metszéspontja pedig

F

(2. ábra). Az

O C_{1} B A_{1}

négyszög

C_{1}

-nél és

A_{1}

-nél lévő szögei derékszögek, ezért

C_{1} O A_{1} ∢ = 180^{\circ} - β

, vagyis

C_{1} O A_{2} ∢ = β

. Ugyanígy kapjuk, hogy

B_{1} O A_{2} ∢ = γ

. Alkalmazzuk lemmánkat az

O B_{1} C_{1}

háromszögre és az

A_{2}

pontra:

\begin{matrix} \frac{B_{1} A_{2}}{A_{2} C_{1}} = \frac{O B_{1} \cdot sin γ}{O C_{1} \cdot sin β} . \end{matrix}

A B_{1} C_{1}

háromszögre és az

A_{2}

pontra alkalmazva a lemmát:

2. ábra

\begin{matrix} \frac{B_{1} A_{2}}{A_{2} C_{1}} = \frac{A B_{1} \cdot sin α_{2}}{A C_{1} \cdot sin α_{1}} . \end{matrix}

Mivel

O B_{1} = O C_{1}

(mindkettő a beírt kör sugara) és

A B_{1} = A C_{1}

(mindkettő

A

-ból a beírt körhöz húzott érintőszakasz), a fenti összefüggésekből következik, hogy

\begin{matrix} \frac{sin γ}{sin β} = \frac{sin α_{2}}{sin α_{1}} . \end{matrix}

(4)

Írjuk fel lemmánkat most az

A B C

háromszögre és az

F

pontra:

\begin{matrix} \frac{B F}{F C} = \frac{A B \cdot sin α_{1}}{A C \cdot sin α_{2}} . \end{matrix}

Ebből (4), valamint az

A B C

háromszögre vonatkozó szinusztétel felhasználásával

\begin{matrix} \frac{B F}{F C} = \frac{A B \cdot sin β}{A C \cdot sin γ} = 1 \end{matrix}

következik, azaz

F

valóban felezi a

B C

oldalt. Ugyanígy kapjuk, hogy a

B B_{2}

és a

C C_{2}

egyenesek is súlyvonalak az

A B C

háromszögben.