Feladat: B.3528 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Füzet: 2002/október, 418 - 419. oldal  PDF file
Témakör(ök): Trigonometriai azonosságok, Geometriai egyenlőtlenségek, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2002/február: B.3528

Legyenek α és β olyan hegyesszögek, amelyekre sin2α+sin2β<1. Bizonyítsuk be, hogy sin2α+sin2β<sin2(α+β).

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Mivel α és β hegyesszögek, azért szögfüggvényeik pozitívak. Felhasználva a sin2α+cos2α=1 azonosságot, a sin2α+sin2β<1 feltételből sin2β<cos2α, azaz sinβ<cosα következik. Ugyanígy láthatjuk be, hogy sinα<cosβ. Tehát

0<sinαsinβ<cosαcosβ.
Ezt az egyenlőtlenséget 2sinαsinβ-val szorozva, majd a bal oldalt átalakítva kapjuk, hogy
2sin2αsin2β<2cosαcosβsinαsinβ,sin2α(1-cos2β)+sin2β(1-cos2α)<2cosαcosβsinαsinβ.
Rendezve:
sin2α+sin2β<sin2αcos2β+sin2βcos2α+2sinαcosβsinβcosα.
A jobb oldalon lévő kifejezés a sin(α+β)=sinαcosβ+sinβcosα azonosság szerint éppen sin2(α+β). Ezzel tehát bebizonyítottuk, hogy feltételeink teljesülése esetén sin2α+sin2β<sin2(α+β).