Kezdőlap


Feladat:	B.3528	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	2002/október, 418 - 419. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Trigonometriai azonosságok, Geometriai egyenlőtlenségek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2002/február: B.3528

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Mivel $α$ és $β$ hegyesszögek, azért szögfüggvényeik pozitívak. Felhasználva a $sin^{2} α + cos^{2} α = 1$ azonosságot, a $sin^{2} α + sin^{2} β < 1$ feltételből $sin^{2} β < cos^{2} α$ , azaz $sin β < cos α$ következik. Ugyanígy láthatjuk be, hogy $sin α < cos β$ . Tehát

\begin{matrix} 0 < sin α \cdot sin β < cos α \cdot cos β . \end{matrix}

Ezt az egyenlőtlenséget

2 sin α \cdot sin β

-val szorozva, majd a bal oldalt átalakítva kapjuk, hogy

\begin{matrix} \begin{matrix} 2 sin^{2} α \cdot sin^{2} β & < 2 cos α \cdot cos β \cdot sin α \cdot sin β, \\ sin^{2} α (1 - cos^{2} β) + sin^{2} β (1 - cos^{2} α) & < 2 cos α \cdot cos β \cdot sin α \cdot sin β . \end{matrix} \end{matrix}

Rendezve:

\begin{matrix} sin^{2} α + sin^{2} β < sin^{2} α \cdot cos^{2} β + sin^{2} β \cdot cos^{2} α + 2 sin α \cdot cos β \cdot sin β \cdot cos α . \end{matrix}

A jobb oldalon lévő kifejezés a

sin (α + β) = sin α \cdot cos β + sin β \cdot cos α

azonosság szerint éppen

sin^{2} (α + β)

. Ezzel tehát bebizonyítottuk, hogy feltételeink teljesülése esetén

sin^{2} α + sin^{2} β < sin^{2} (α + β)