Feladat: B.3508 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Backhausz Ágnes ,  Balogh János ,  Bartha Ferenc ,  Bérczi Kristóf ,  Bergmann Gábor ,  Bisztray Márta ,  Bóka Gergely ,  Csáky Attila ,  Egri Attila ,  Fehér Gábor ,  Hamar Gergő ,  Hargitai Gábor ,  Jelitai Kálmán ,  Jesch Dávid ,  Kőrizs András ,  Kórus Péter ,  Kovács Andrea ,  Lengyel Zoltán ,  Metzing András ,  Pallos Péter ,  Puskás Anna ,  Rácz Béla András ,  Rácz Éva ,  Reiss Tibor ,  Révész Dániel ,  Ruppert László Gábor ,  Salát Máté ,  Sásdy Gabriella ,  Simon Balázs ,  Siska Ádám ,  Slíz György ,  Somogyi Dávid ,  Sparing Dániel ,  Szalai Attila ,  Tóth János ,  Tölgyesi Csaba ,  Zavarkó Gábor 
Füzet: 2002/szeptember, 338 - 339. oldal  PDF file
Témakör(ök): Síkgeometriai bizonyítások, Tengelyes tükrözés, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2001/december: B.3508

Az ABC és az A1B1C1 háromszögek tengelyesen tükrös helyzetűek. Húzzunk párhuzamost A1-en keresztül BC-vel, B1-en keresztül AC-vel, végül C1-en keresztül AB-vel. Bizonyítsuk be, hogy ez a három egyenes egy ponton halad át.
 

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A koordinátarendszert vegyük fel úgy, hogy az y tengely legyen a tükör tengely. Ekkor az ABC háromszög csúcsainak és A1, B1, C1 tükörképeiknek koordinátái: A(a1,a2), A1(-a1,a2), B(b1,b2), B1(-b1,b2), C(c1,c2), C1(-c1,c2). Ezen pontok segítségével felírhatjuk a három egyenes irányvektoros egyenletét.

1)a illeszkedik A1-re és párhuzamos BC-vel:
(c2-b2)x+(c1-b1)y=-(c2-b2)a1+(c1-b1)a2.
2)b illeszkedik B1-re és párhuzamos AC-vel:
(a2-c2)x+(a1-c1)y=-(a2-c2)(-b1)+(a1-c1)b2.
3)c illeszkedik C1-re és párhuzamos AB-vel:
(b2-a2)x+(b1-a1)y=-(b2-a2)(-c1)+(b1-a1)c2.

Az a és b egyenesek nem párhuzamosak, ezért van egy P metszéspontjuk, amely kielégíti az 1) és 2) egyenleteket. Mivel 1) és 2) összegének a (-1) szerese éppen a 3), azért P kielégíti a 3) egyenletet is. Mivel a három egyenes különböző, azért a három egyenes valóban egy ponton halad át.
Jelitai Kálmán (Budapest, Szent István Gimnázium, 11. évf.)

 
Megjegyzés: A megoldások általában koordináta-geometriai, illetve elemi geometriai jellegűek voltak. Az elemi geometriai megoldások között nem volt hibátlan, a következők miatt kellett pontokat levonni:
Párhuzamos szárú szögek nem feltétlenül egyenlők egymással.
Ha két pont másik két pontból egyenlő szög alatt látszik, akkor ebből még nem következik, hogy a négy pont egy körön van.