Kezdőlap


Feladat:	B.3508	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Backhausz Ágnes , Balogh János , Bartha Ferenc , Bérczi Kristóf , Bergmann Gábor , Bisztray Márta , Bóka Gergely , Csáky Attila , Egri Attila , Fehér Gábor , Hamar Gergő , Hargitai Gábor , Jelitai Kálmán , Jesch Dávid , Kőrizs András , Kórus Péter , Kovács Andrea , Lengyel Zoltán , Metzing András , Pallos Péter , Puskás Anna , Rácz Béla András , Rácz Éva , Reiss Tibor , Révész Dániel , Ruppert László Gábor , Salát Máté , Sásdy Gabriella , Simon Balázs , Siska Ádám , Slíz György , Somogyi Dávid , Sparing Dániel , Szalai Attila , Tóth János , Tölgyesi Csaba , Zavarkó Gábor
Füzet:	2002/szeptember, 338 - 339. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Síkgeometriai bizonyítások, Tengelyes tükrözés, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2001/december: B.3508

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A koordinátarendszert vegyük fel úgy, hogy az $y$ tengely legyen a tükör tengely. Ekkor az $A B C$ háromszög csúcsainak és $A_{1}$ , $B_{1}$ , $C_{1}$ tükörképeiknek koordinátái: $A (a_{1}, a_{2})$ , $A_{1} (- a_{1}, a_{2})$ , $B (b_{1}, b_{2})$ , $B_{1} (- b_{1}, b_{2})$ , $C (c_{1}, c_{2})$ , $C_{1} (- c_{1}, c_{2}) .$ Ezen pontok segítségével felírhatjuk a három egyenes irányvektoros egyenletét.

a

illeszkedik

A_{1}

-re és párhuzamos

B C

-vel:

\begin{matrix} (c_{2} - b_{2}) x + (c_{1} - b_{1}) y = - (c_{2} - b_{2}) a_{1} + (c_{1} - b_{1}) a_{2} . \end{matrix}

b

illeszkedik

B_{1}

-re és párhuzamos

A C

-vel:

\begin{matrix} (a_{2} - c_{2}) x + (a_{1} - c_{1}) y = - (a_{2} - c_{2}) (- b_{1}) + (a_{1} - c_{1}) b_{2} . \end{matrix}

c

illeszkedik

C_{1}

-re és párhuzamos

A B

-vel:

\begin{matrix} (b_{2} - a_{2}) x + (b_{1} - a_{1}) y = - (b_{2} - a_{2}) (- c_{1}) + (b_{1} - a_{1}) c_{2} . \end{matrix}

a

és

b

egyenesek nem párhuzamosak, ezért van egy

P

metszéspontjuk, amely kielégíti az 1) és 2) egyenleteket. Mivel 1) és 2) összegének a

(- 1)

szerese éppen a 3), azért

P

kielégíti a 3) egyenletet is. Mivel a három egyenes különböző, azért a három egyenes valóban egy ponton halad át.

Jelitai Kálmán (Budapest, Szent István Gimnázium, 11. évf.)

Megjegyzés: A megoldások általában koordináta-geometriai, illetve elemi geometriai jellegűek voltak. Az elemi geometriai megoldások között nem volt hibátlan, a következők miatt kellett pontokat levonni:

‐	Párhuzamos szárú szögek nem feltétlenül egyenlők egymással.

‐	Ha két pont másik két pontból egyenlő szög alatt látszik, akkor ebből még nem következik, hogy a négy pont egy körön van.