Feladat: C.652 Korcsoport: 14-15 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Varga Anikó 
Füzet: 2002/május, 278 - 279. oldal  PDF file
Témakör(ök): Számjegyekkel kapcsolatos feladatok, Oszthatóság, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2001/december: C.652

Legyen s páratlan sok jegyű pozitív egész szám. Jelölje f azt a számot, amely s számjegyeiből áll, csak fordított sorrendben. Bizonyítsuk be, hogy s+f pontosan akkor osztható 11-gyel, ha s is osztható 11-gyel.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Tudjuk, hogy egy szám pontosan akkor osztható 11-gyel, ha a páros és páratlan helyen álló jegyeit összeadva, ezek különbsége osztható 11-gyel.
Először tegyük fel, hogy s osztható 11-gyel. Ekkor, mivel páratlan sok jegyet tartalmaz, ha fordított sorrendben írjuk fel, az eredetileg páratlan helyen álló számjegyek páratlan helyre kerülnek (és ugyanígy a páros helyen álló jegyek párosra). Vagyis az így kapott f szám is osztható lesz 11-gyel, és akkor s+f is.
Ha viszont 11 nem osztója az s-nek, akkor s=11k+m alakban írható, ahol 0<m<11. A  fordított sorrendben felírt f szám 11-gyel osztva ugyancsak m-et ad maradékul. Így s+f=11p+2m, ahol 0<2m<22 és 2m páros, azaz nem osztható 11-gyel.
Ezzel beláttuk a fordított állítást is, vagyis ha s nem osztható 11-gyel, akkor s+f sem osztható.

 
Varga Anikó (Komarno, Marianum Egyh. Gimn., 9. évf.)
 

Megjegyzés. A feladat állítása azon múlik, hogy páratlan sok jegyű számok esetén s és f ugyanazt a maradékot adja 11-gyel osztva.