Feladat: F.3280 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Ábrány Miklós ,  Babos Attila ,  Baharev Ali ,  Barát Anna ,  Dénes Attila ,  Erdei Zsuzsa ,  Fehér Lajos Károly ,  Gáspár Merse Előd ,  Gelencsér Gábor ,  Gerencsér Balázs ,  Gueth Krisztián ,  Gyürki István ,  Gömöri Péter ,  Horváth Szilárd ,  Kovács Erika Renáta ,  Kunszenti-Kovács Dávid ,  Lábó Eszter ,  Lábó Melinda ,  Nagy Tamás ,  Papp Dávid ,  Pataki Péter ,  Poronyi Gábor ,  Pozsonyi Gergő ,  Sipos Ádám ,  Székelyhidi Gábor ,  Ta Vinh Thong ,  Taraza Busra ,  Terpai Tamás ,  Torda Péter ,  Tran Thanh Long ,  Venter György 
Füzet: 2000/január, 30 - 31. oldal  PDF file
Témakör(ök): Számtani közép, Harmonikus közép, Algebrai átalakítások, Egyenlőtlenségek, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1999/április: F.3280

Bizonyítsuk be, hogy ha x1, x2, ..., xn pozitív számok, akkor
x1x2+x3+...+xn+x2x1+x3+...+xn+...+xnx1+x2+...+xn-1nn-1.


A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen x1+x2+...+xn=a. Az egyenlőtlenség bal oldala:

x1a-x1+x2a-x2+...+xna-xn=(aa-x1-1)+(aa-x2-1)+...+(aa-xn-1)==aa-x1+...+aa-xn-n.
Alkalmazzuk a számtani és a harmonikus közép közötti egyenlőtlenséget az aa-xi (pozitív) számokra:
aa-x1+...+aa-xn-nnna-x1a+...+a-xna-n=n2ana-a-n=n2n-1-n=nn-1.
Egyenlőség pontosan akkor áll, ha az aa-xi számok mind egyenlőek, azaz x1=x2=...=xn.
 Sipos Ádám (Miskolc, Földes F. Gimn., 11. o.t.)