Kezdőlap


Feladat:	F.3280	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Ábrány Miklós , Babos Attila , Baharev Ali , Barát Anna , Dénes Attila , Erdei Zsuzsa , Fehér Lajos Károly , Gáspár Merse Előd , Gelencsér Gábor , Gerencsér Balázs , Gueth Krisztián , Gyürki István , Gömöri Péter , Horváth Szilárd , Kovács Erika Renáta , Kunszenti-Kovács Dávid , Lábó Eszter , Lábó Melinda , Nagy Tamás , Papp Dávid , Pataki Péter , Poronyi Gábor , Pozsonyi Gergő , Sipos Ádám , Székelyhidi Gábor , Ta Vinh Thong , Taraza Busra , Terpai Tamás , Torda Péter , Tran Thanh Long , Venter György
Füzet:	2000/január, 30 - 31. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Számtani közép, Harmonikus közép, Algebrai átalakítások, Egyenlőtlenségek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1999/április: F.3280

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen $x_{1} + x_{2} + ... + x_{n} = a$ . Az egyenlőtlenség bal oldala:

\begin{matrix} \begin{matrix} \frac{x_{1}}{a - x_{1}} + \frac{x_{2}}{a - x_{2}} + ... + \frac{x_{n}}{a - x_{n}} = (\frac{a}{a - x_{1}} - 1) + (\frac{a}{a - x_{2}} - 1) + ... + (\frac{a}{a - x_{n}} - 1) = \\ = \frac{a}{a - x_{1}} + ... + \frac{a}{a - x_{n}} - n . \end{matrix} \end{matrix}

Alkalmazzuk a számtani és a harmonikus közép közötti egyenlőtlenséget az

\frac{a}{a - x_{i}}

(pozitív) számokra:

\begin{matrix} \frac{a}{a - x_{1}} + ... + \frac{a}{a - x_{n}} - n \geq n \cdot \frac{n}{\frac{a - x_{1}}{a} + ... + \frac{a - x_{n}}{a}} - n = \frac{n^{2} a}{n a - a} - n = \frac{n^{2}}{n - 1} - n = \frac{n}{n - 1} . \end{matrix}

Egyenlőség pontosan akkor áll, ha az

\frac{a}{a - x_{i}}

számok mind egyenlőek, azaz

x_{1} = x_{2} = ... = x_{n}

Sipos Ádám (Miskolc, Földes F. Gimn., 11. o.t.)