Feladat: F.3231 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Baharev Ali ,  Barát Anna ,  Bosznay Tamás ,  Csikvári András ,  Dancsó Zsuzsanna ,  Gáspár Merse Előd ,  Gelencsér Gábor ,  Györkei Györgyi ,  Hangya Balázs ,  Harangi Viktor ,  Hegedűs Péter ,  Hermann György ,  Homolya Dániel ,  Horváth András ,  Juhász András ,  Keszegh Balázs ,  Kis-Tóth Ágnes ,  Kitlei Róbert ,  Kunszenti-Kovács Dávid ,  Less Áron ,  Lippner Gábor ,  Mansur Boase ,  Máthé András ,  Mizda Roland ,  Pál András ,  Páles Csaba ,  Pogány Ádám ,  Sarlós Ferenc ,  Szabadka Zoltán ,  Szabó Péter ,  Szép László ,  Terpai Tamás ,  Tisch Dávid ,  Tran Thanh Long ,  Vágvölgyi Péter ,  Vaik István ,  Végh A. László ,  Vidor Anna ,  Zábrádi Gergely ,  Zombori Tamás 
Füzet: 1998/december, 540 - 541. oldal  PDF file
Témakör(ök): Térgeometriai bizonyítások, Pitagorasz-tétel alkalmazásai, Térgeometriai számítások trigonometria nélkül, Gömb és részei, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1998/április: F.3231

A g gömb egy rögzített belső P pontján átmenő h1, h2 és h3 húrjai páronként merőlegesek egymásra. A húrok által meghatározott három sík egy-egy kört metsz ki a gömbből. Mutassuk meg, hogy a három kör területének összege nem függ a húrok helyzetétől.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük g középpontját O-val, sugarát r-rel, a hi húr (i=1, 2, 3) végpontját Ai-vel és Bi-vel, felezőpontját Fi-vel, a húrpárok által meghatározott síkokkal a gömbből kimetszett körök középpontjait pedig O1, O2 és O3-mal (lásd az ábrát).
Tudjuk, hogy egy kör/gömb húrjának felezőmerőleges egyenese/síkja átmegy a kör/gömb középpontján. Mivel h1, h2 és h3 páronként egymásra merőlegesek, ezért ebből következik, hogy az OO2F1O3O1F3PF2 test téglatest. Ebben OP testátló, tehát

OP2=OO12+OO22+OO32.(1)
A feladatban szereplő három kis kör területének összege
O2A12π+O3A22π+O1A32π.(2)
Viszont az OOi egyenesek merőlegesek e körök síkjaira, ezért Pitagorasz tétele szerint
OO22+O2A12=OA12,OO32+O3A22=OA22ésOO12+O1A32=OA32.
Mivel OAi=r, ezért ezekből az egyenletekből és (1)-ből kapjuk, hogy
O2A12+O3A22+O1A32=OA12+OA22+OA32-(OO22+OO32+OO12)=3r2-OP2.(3)
A három kör területösszege (2) és (3) szerint (3r2-OP2)π, ami állandó, mert r is és OP is állandó.
 Kis-Tóth Ágnes (Kaposvár, Táncsics M. Gimn., 11. o.t.) dolgozata alapján