Kezdőlap


Feladat:	F.3231	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Baharev Ali , Barát Anna , Bosznay Tamás , Csikvári András , Dancsó Zsuzsanna , Gáspár Merse Előd , Gelencsér Gábor , Györkei Györgyi , Hangya Balázs , Harangi Viktor , Hegedűs Péter , Hermann György , Homolya Dániel , Horváth András , Juhász András , Keszegh Balázs , Kis-Tóth Ágnes , Kitlei Róbert , Kunszenti-Kovács Dávid , Less Áron , Lippner Gábor , Mansur Boase , Máthé András , Mizda Roland , Pál András , Páles Csaba , Pogány Ádám , Sarlós Ferenc , Szabadka Zoltán , Szabó Péter , Szép László , Terpai Tamás , Tisch Dávid , Tran Thanh Long , Vágvölgyi Péter , Vaik István , Végh A. László , Vidor Anna , Zábrádi Gergely , Zombori Tamás
Füzet:	1998/december, 540 - 541. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Térgeometriai bizonyítások, Pitagorasz-tétel alkalmazásai, Térgeometriai számítások trigonometria nélkül, Gömb és részei, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1998/április: F.3231

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük $g$ középpontját $O$ -val, sugarát $r$ -rel, a $h_{i}$ húr ( $i = 1$ , 2, 3) végpontját $A_{i}$ -vel és $B_{i}$ -vel, felezőpontját $F_{i}$ -vel, a húrpárok által meghatározott síkokkal a gömbből kimetszett körök középpontjait pedig $O_{1}$ , $O_{2}$ és $O_{3}$ -mal (lásd az ábrát).
Tudjuk, hogy egy kör/gömb húrjának felezőmerőleges egyenese/síkja átmegy a kör/gömb középpontján. Mivel $h_{1}$ , $h_{2}$ és $h_{3}$ páronként egymásra merőlegesek, ezért ebből következik, hogy az $O O_{2} F_{1} O_{3} O_{1} F_{3} P F_{2}$ test téglatest. Ebben $O P$ testátló, tehát

\begin{matrix} O P^{2} = O O_{1}^{2} + O O_{2}^{2} + O O_{3}^{2} . \end{matrix}

(1)

A feladatban szereplő három kis kör területének összege

\begin{matrix} O_{2} A_{1}^{2} \cdot π + O_{3} A_{2}^{2} π + O_{1} A_{3}^{2} π . \end{matrix}

(2)

Viszont az

O O_{i}

egyenesek merőlegesek e körök síkjaira, ezért Pitagorasz tétele szerint

\begin{matrix} O O_{2}^{2} + O_{2} A_{1}^{2} = O A_{1}^{2}, O O_{3}^{2} + O_{3} A_{2}^{2} = O A_{2}^{2} és O O_{1}^{2} + O_{1} A_{3}^{2} = O A_{3}^{2} . \end{matrix}

Mivel

O A_{i} = r

, ezért ezekből az egyenletekből és (1)-ből kapjuk, hogy

\begin{matrix} O_{2} A_{1}^{2} + O_{3} A_{2}^{2} + O_{1} A_{3}^{2} = O A_{1}^{2} + O A_{2}^{2} + O A_{3}^{2} - (O O_{2}^{2} + O O_{3}^{2} + O O_{1}^{2}) = 3 r^{2} - O P^{2} . \end{matrix}

(3)

A három kör területösszege (2) és (3) szerint

(3 r^{2} - O P^{2}) \cdot π

, ami állandó, mert

r

is és

O P

is állandó.

Kis-Tóth Ágnes (Kaposvár, Táncsics M. Gimn., 11. o.t.) dolgozata alapján