Feladat: F.3222 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Baharev Ali ,  Bárány Kristóf ,  Barát Anna ,  Bíró Anikó ,  Boros M. Mátyás ,  Csikvári András ,  Csikvári Gábor ,  Gáspár Merse Előd ,  Harangi Viktor ,  Horváth András ,  Horváth Gábor ,  Juhász András ,  Kiss András Péter ,  Kunszenti-Kovács Dávid ,  Kutalik Péter ,  Lippner Gábor ,  Máthé András ,  Mecz Balázs ,  Naszódi Gergely ,  Páles Csaba ,  Papp Dávid ,  Pataki Péter ,  Szabadka Zoltán ,  Szabó Péter ,  Székelyhidi Gábor ,  Terpai Tamás ,  Tóth Ádám ,  Tran Thanh Long ,  Végh A. László ,  Zombori Tamás 
Füzet: 1998/december, 540. oldal  PDF file
Témakör(ök): Maradékos osztás, Euler-Fermat-tételek, Prímszámok, Magasabb fokú egyenletek, Természetes számok, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1998/március: F.3222

Legyen n prímszám. Bizonyítsuk be, hogy ekkor az
(1n+2n+...+xn)+(1n+2n+...+(n-1)n)=1n+2n+...+(2n-1)n(2)
egyenletnek nincs pozitív egész megoldása.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az egyenletet rendezve kapjuk, hogy

1n+2n+...+xn=nn+(n+1)n+...+(2n-1)n.
Ha xn, akkor
1n+2n+...+xn<nn+(n+1)n+...+(n+x-1)nnn+(n+1)n+...+(2n-1)n.
Másrészt, ha x2n-1, akkor
1n+2n+...+xn>nn+(n+1)n+...+xnnn+(n+1)n+...+(2n-1)n.
Mindkét esetben ellentmondásra jutottunk, tehát ha van megoldás, akkor n<x<2n-1.
A 3>x>2 egyenlőtlenségnek nincs egész megoldása, így feltehetjük, hogy n>2.
A kis Fermat-tétel szerint tetszőleges k egészre és n prímre knk(modn), azaz
j=1xjnj=1xj=x(x+1)2(modn),
továbbá
j=n2n-1jnj=0n-1jnj=0n-1j=n(n-1)20(modn).
Így x-nek vagy (x+1)-nek oszthatónak kell lennie n-nel, hiszen n páratlan prím. Ez viszont nem lehet, mert mint láttuk: n<x<2n-1.
 Juhász András (Fazekas M. Főv. Gyak. Gimn., 10. o.t.)