Feladat: Gy.3207 Korcsoport: 14-15 Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):  Baharev Ali ,  Bajusz Csaba ,  Kisfügedi Viktória ,  Kiss Gergely ,  Lábó Eszter ,  Lábó Melinda ,  Lovrics Anna ,  Lovrics Klára ,  Németh Lajos ,  Papp Dávid ,  Sipos Ádám ,  Tran Thanh Long ,  Zábrádi Gergely 
Füzet: 1998/december, 533. oldal  PDF file
Témakör(ök): Algebrai átalakítások, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1998/május: Gy.3207

Bizonyítsuk be, hogy ha egy szám felírható 3a2+32b2 alakban, ahol a és b természetes számok, akkor a 97-szerese is felírható ilyen alakban.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Hajtsuk végre a következő átalakításokat:

(3a2+32b2)97=(3a2+9632b2)+(963a2+32b2)==3(a2+322b2+232ab)+32(32a2+b2-23ab)=3(a+32b)2+32(3a-b)2.
Ezzel az állítást bebizonyítottuk.
 
Megjegyzés. Mások a 3(a-32b)2+32(3a+b)2 felbontást alkalmazták. A fenti ötlettel belátható, hogy általában egy ka2+mb2 alakú szám (km+x2)-szerese ugyancsak felírható ka2+mb2 alakban. Az is nyilvánvaló, hogy az x2-szerese is. Sőt, az alábbi átalakításokkal beláthatjuk, hogy ha k négyzetszám és osztója m-nek, akkor a (kx2+my2)-szerese is: (x, y tetszőleges pozitív egészek)
(ka2+mb2)(kx2+my2)=(k2a2x2+m2b2y2+2kmabxy)+(kma2y2+kmb2x2-2kmabxy)==k(kax+mkby)2+m(kay-kbx)2.
(Az idei Nemzetközi Magyar Matematikaverseny kilencedik évfolyamos feladata volt bizonyítani ezt k=1 és m=2-re.) Nyitott még a kérdés, hogy vajon van-e olyan k és m, amelyre létezik megfelelő szorzó, amelyik nem áll elő a fenti három formula egyikével sem (beleszámítva a lehetséges kombinációkat, pl. a z2(km+x2)-szeres számokat is), semmilyen x-szel és y-nal.
 Papp Dávid (Budapest, Szent István Gimn., 10. o.t.)