Kezdőlap


Feladat:	Gy.3207	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Baharev Ali , Bajusz Csaba , Kisfügedi Viktória , Kiss Gergely , Lábó Eszter , Lábó Melinda , Lovrics Anna , Lovrics Klára , Németh Lajos , Papp Dávid , Sipos Ádám , Tran Thanh Long , Zábrádi Gergely
Füzet:	1998/december, 533. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Algebrai átalakítások, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1998/május: Gy.3207

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Hajtsuk végre a következő átalakításokat:

\begin{matrix} \begin{matrix} (3 a^{2} + 32 b^{2}) \cdot 97 = (3 a^{2} + 96 \cdot 32 b^{2}) + (96 \cdot 3 a^{2} + 32 b^{2}) = \\ = 3 (a^{2} + 32^{2} b^{2} + 2 \cdot 32 a b) + 32 (3^{2} a^{2} + b^{2} - 2 \cdot 3 a b) = 3 {(a + 32 b)}^{2} + 32 {(3 a - b)}^{2} . \end{matrix} \end{matrix}

Ezzel az állítást bebizonyítottuk.

Megjegyzés. Mások a

3 {(a - 32 b)}^{2} + 32 {(3 a + b)}^{2}

felbontást alkalmazták. A fenti ötlettel belátható, hogy általában egy

k a^{2} + m b^{2}

alakú szám

(k m + x^{2})

-szerese ugyancsak felírható

k a^{2} + m b^{2}

alakban. Az is nyilvánvaló, hogy az

x^{2}

-szerese is. Sőt, az alábbi átalakításokkal beláthatjuk, hogy ha

k

négyzetszám és osztója

m

-nek, akkor a

(k x^{2} + m y^{2})

-szerese is: (

x

y

tetszőleges pozitív egészek)

\begin{matrix} \begin{matrix} (k a^{2} + m b^{2}) (k x^{2} + m y^{2}) = \\ (k^{2} a^{2} x^{2} + m^{2} b^{2} y^{2} + 2 k m a b x y) + (k m a^{2} y^{2} + k m b^{2} x^{2} - 2 k m a b x y) = \\ = k {(\sqrt[]{k} a x + \frac{m}{\sqrt[]{k}} b y)}^{2} + m {(\sqrt[]{k} a y - \sqrt[]{k} b x)}^{2} . \end{matrix} \end{matrix}

(Az idei Nemzetközi Magyar Matematikaverseny kilencedik évfolyamos feladata volt bizonyítani ezt

k = 1

és

m = 2

-re.) Nyitott még a kérdés, hogy vajon van-e olyan

k

és

m

, amelyre létezik megfelelő szorzó, amelyik nem áll elő a fenti három formula egyikével sem (beleszámítva a lehetséges kombinációkat, pl. a

z^{2} (k m + x^{2})

-szeres számokat is), semmilyen

x

-szel és

y

-nal.

Papp Dávid (Budapest, Szent István Gimn., 10. o.t.)