Feladat: F.3217 Korcsoport: 18- Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Barát Anna ,  Gyenes Zoltán ,  Juhász András ,  Naszódi Gergely 
Füzet: 1998/október, 415 - 416. oldal  PDF file
Témakör(ök): Súlyvonal, Síkgeometriai bizonyítások, Vektorok vektoriális szorzata, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1998/február: F.3217

Egy háromszög súlyvonalainak hossza s1, s2 és s3, egy P pontnak a súlyvonalaktól való távolsága pedig rendre d1, d2 és d3. Mutassuk meg, hogy az s1d1, s2d2 és s3d3 szorzatok közül a legnagyobb egyenlő a másik kettő összegével.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A feladatban szereplő sidi szorzatok éppen azon háromszögek területeinek kétszeresei, amely háromszögek egyik csúcsa P, azzal szemközti oldaluk pedig a kiindulási háromszög egyik súlyvonala. Tulajdonképpen azt kell megmutatnunk, hogy e három területet előjelezhetjük úgy, hogy az előjeles összegük 0 legyen.
Jelöljük a P-ből az eredeti háromszög csúcsaiba mutató vektorokat a, b, c-vel. Ekkor az oldalfelező pontokba mutató vektorok a+b2, b+c2 és c+a2, s így a+b2×c, b+c2×a és c+a2×b olyan egymással párhuzamos vektorok, amelyek hossza valamilyen sorrendben s1d1, s2d2 és s3d3. Mivel bármilyen x és y vektorokra igaz, hogy x×y+y×x=0, ezért

(a+b2×c)+(b+c2×a)+(c+a2×b)==12(a×c+c×a+b×c+c×b+b×a+a×b)=0.

Ez viszont éppen azt jelenti, hogy az s1d1, s2d2 és s3d3 szorzatok közül a legnagyobb egyenlő a másik kettő összegével.
 Naszódi Gergely (Fazekas M. Főv. Gyak. Gimn., 11. o.t.) dolgozata alapján