Feladat: 671. fizika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Gajdics György ,  Gnädig Péter ,  Hegedüs Endre ,  Lánczos László ,  Szalay Sándor ,  Takács László 
Füzet: 1967/december, 234 - 235. oldal  PDF file
Témakör(ök): Newton-féle gravitációs erő, Egyenletes körmozgás, Mesterséges holdak, Közelítő számítások, numerikus módszerek, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1967/február: 671. fizika feladat

Az állónak tekintett M=61024 kg tömegű Föld körül R=3,8108 m távolságban körpályán kering az m=7,351022 kg tömegű Hold. A Föld és Hold együttes gravitációs terébe egy olyan kis μ tömegű mesterséges holdat lövünk, hogy annak visszahatása a Föld, ill. a Hold mozgására elhanyagolható. Lehetséges-e olyan műhold pálya, amelyen a keringési idő pontosan megegyezik a Hold keringési idejével?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ha R távolságra tesszük a műholdat, akkor biztos, hogy nem ilyen pályát kapunk, mert a Hold vonzóereje is számít.
Mivel a feladat szövege csak a pálya egzisztenciája felől érdeklődik, ezért elég, ha egy speciális pályatípuson belül mutatunk példát. Keressünk tehát a mondott feltételeket kielégítő kör alakú pályát. Mivel körpályán a gyorsulás mindig sugárirányú, ezért a műhold csak a Föld és Hold középpontját összekötő egyenesen helyezkedhet el, mert csak így lesz a Holdból származó vonzóerő sugárirányú. A lehetséges elrendezések esetén (ábra) írjuk fel a Földtől ϱ távolságra keringő műholdra t időpillanatban ható erőket.

 
 

1. Ha a műhold és a Hold között van a Föld, akkor
F=fMμϱ2+fmμ(R+ϱ)2.

2. Ha a Hold és a Föld között van a műhold, akkor
F=fMμϱ2-fmμ(R-ϱ)2.

3. Ha a Föld és a műhold között van a Hold, akkor
F=fMμϱ2+fmμ(R-ϱ)2.

Az F=ma mozgásegyenlet alapján körpálya esetén a=ϱωH2, ahol feltevésünk szerint ωH a Hold szögsebessége:
ωH2=fMR3.

Ha a műhold tényleg ωH szögsebességű pályán kering, akkor mindig a fent számolt konstans erők valamelyikét érzi, hisz az erőtér együtt fordul el vele. Vagyis a keresett pálya tényleg létezik, ha van olyan ϱ, amely kielégíti a következő egyenletet:
μϱfMR3=fMμϱ2±fmμ(R±ϱ)2(- és + sorrend kizárva).
Rendezve:
ϱ=R3(1ϱ2±mM1(R±ϱ)2).
Ebből:
R3(R±ϱ)2±mMϱ2R3-ϱ3(R±ϱ)2=0.
Ez ötödfokú egyenlet ϱ-ra.
Vizsgáljuk meg, hogy van-e az említett esetek valamelyikében pozitív valós ϱ értéket adó megoldás.
1. eset:
f(ϱ)=R3(R+ϱ)2+mMϱ2R3-ϱ3(R+ϱ)2=0.

Tekintsük a bal oldalt ϱ polinomjának, és vizsgáljuk az értékét ϱ=R és ϱ=2R helyeken:
f(ϱ=R)=+mMR5>0,f(ϱ=2R)=9R5+mM4R5-72R5<13R5-72R5<0,mivelmM<1.



Vagyis az f(ϱ) polinomnak R és 2R között van zérus helye, hisz az [R,2R] intervallum egyik végén pozitív, a másikon negatív, tehát valahol közben a nullán is átment. Az f(ϱ)-t ϱ függvényében felrajzolva:
ϱ11,001R.

2. eset:
f(ϱ)=R3(R-ϱ)2-mMϱ2R3-ϱ3(R-ϱ)2,f(0)=+R5>0,f(R)=-mMR5<0.

Tehát [0,R] intervallumon belül van megoldása az egyenletnek. Grafikusan megoldva:
ϱ2=0,85R.

3. eset:
f(ϱ)=R3(R-ϱ)2+mMϱ2R3-ϱ3(R-ϱ)2,f(R)=+mMR5>0,f(2R)=R5+mM4R5-8R5<-3R5<0.
R és 2R között itt is van megoldás.
Grafikusan megoldva: ϱ31,17R.
Tehát létezik a kívánt tulajdonságokkal rendelkező pálya, sőt a megoldásból látszik, hogy legalább 3 ilyen pálya van.
 
 Gnädig Péter (Budapest)
 
Megjegyzés. Szalay Sándor (Debrecen) megmutatta, hogy ha figyelembe vesszük azt, hogy a Föld is kering a rendszer közös súlypontja körül, akkor a Föld és Hold középpontját összekötő egyenesen kívül is található olyan pont (ún. Lagrange-pont), ahová a műholdat elhelyezve, az keringés közben nem változtatja helyzetét sem a Földhöz, sem a Holdhoz képest.