A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Ha távolságra tesszük a műholdat, akkor biztos, hogy nem ilyen pályát kapunk, mert a Hold vonzóereje is számít. Mivel a feladat szövege csak a pálya egzisztenciája felől érdeklődik, ezért elég, ha egy speciális pályatípuson belül mutatunk példát. Keressünk tehát a mondott feltételeket kielégítő kör alakú pályát. Mivel körpályán a gyorsulás mindig sugárirányú, ezért a műhold csak a Föld és Hold középpontját összekötő egyenesen helyezkedhet el, mert csak így lesz a Holdból származó vonzóerő sugárirányú. A lehetséges elrendezések esetén (ábra) írjuk fel a Földtől távolságra keringő műholdra időpillanatban ható erőket. 1. Ha a műhold és a Hold között van a Föld, akkor 2. Ha a Hold és a Föld között van a műhold, akkor 3. Ha a Föld és a műhold között van a Hold, akkor Az mozgásegyenlet alapján körpálya esetén , ahol feltevésünk szerint a Hold szögsebessége: Ha a műhold tényleg szögsebességű pályán kering, akkor mindig a fent számolt konstans erők valamelyikét érzi, hisz az erőtér együtt fordul el vele. Vagyis a keresett pálya tényleg létezik, ha van olyan , amely kielégíti a következő egyenletet: | | Rendezve: Ebből: | | Ez ötödfokú egyenlet -ra. Vizsgáljuk meg, hogy van-e az említett esetek valamelyikében pozitív valós értéket adó megoldás. 1. eset: | |
Tekintsük a bal oldalt polinomjának, és vizsgáljuk az értékét és helyeken:
Vagyis az polinomnak és között van zérus helye, hisz az intervallum egyik végén pozitív, a másikon negatív, tehát valahol közben a nullán is átment. Az -t függvényében felrajzolva: 2. eset:
Tehát intervallumon belül van megoldása az egyenletnek. Grafikusan megoldva: 3. eset:
és között itt is van megoldás. Grafikusan megoldva: . Tehát létezik a kívánt tulajdonságokkal rendelkező pálya, sőt a megoldásból látszik, hogy legalább ilyen pálya van.
Gnädig Péter (Budapest)
Megjegyzés. Szalay Sándor (Debrecen) megmutatta, hogy ha figyelembe vesszük azt, hogy a Föld is kering a rendszer közös súlypontja körül, akkor a Föld és Hold középpontját összekötő egyenesen kívül is található olyan pont (ún. Lagrange-pont), ahová a műholdat elhelyezve, az keringés közben nem változtatja helyzetét sem a Földhöz, sem a Holdhoz képest. |