Feladat: F.2274 Korcsoport: 18- Nehézségi fok: átlagos
Füzet: 1981/március, 106. oldal  PDF file
Témakör(ök): Függvényegyenletek, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1980/október: F.2274

Legyen f(x)=x2+x+2 és g(x)=x2-x+2. Bizonyítsuk be, hogy nincs olyan, minden x-re értelmezett h függvény, hogy h(f(x))+h(g(x))=g(f(x)) fennálljon minden x valós számra.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

h(f(x))+h(g(x))=g(f(x))(1)

I. megoldás. Jelöljük az (1) jobb oldalán álló függvényt H-val:
H(x)=g(f(x))=f(x)(f(x)-1)+2=(x2+x+2)(x2+x+1)+2==x4+2x3+4x2+3x+4.


Mivel H-ban x-nek páratlan kitevős hatványai is szerepelnek, H nem páros függvény, vagyis H(x) és H(-x) általában (véges sok konkrét x-érték kivételével) nem egyenlő. Az (1) bal oldalán álló függvény viszont f(-x)=g(x) miatt tetszőleges h mellett páros, a kívánt (1) összefüggés tehát egyetlen h-ra sem teljesülhet.
 

II. megoldás. Megmutatjuk, hogy (1) már az x=1 és x=-1 helyeken sem teljesülhet egyetlen h mellett sem. (1) bal oldalán ugyanis mindkét helyen h(2)+h(4) áll, ugyanakkor a jobb oldalon g(f(l))=14g(f(-1))=4.