Feladat:	F.2274	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1981/március, 106. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Függvényegyenletek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1980/október: F.2274

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. $\begin{array}{c}{\displaystyle h\left(f\left(x\right)\right)+h\left(g\left(x\right)\right)=g\left(f\left(x\right)\right)}\end{array}$ (1) I. megoldás. Jelöljük az (1) jobb oldalán álló függvényt $H$-val: ${\displaystyle \begin{array}{c}\hfill {\displaystyle H\left(x\right)=g\left(f\left(x\right)\right)=f\left(x\right)\left(f\left(x\right)-1\right)+2=\left(x^2+x+2\right)\left(x^2+x+1\right)+2=}\hfill \\ \hfill {\displaystyle =x^4+2x^3+4x^2+3x+4.}\hfill \end{array}}$ Mivel $H$-ban $x$-nek páratlan kitevős hatványai is szerepelnek, $H$ nem páros függvény, vagyis $H\left(x\right)$ és $H\left(-x\right)$ általában (véges sok konkrét $x$-érték kivételével) nem egyenlő. Az (1) bal oldalán álló függvény viszont $f\left(-x\right)=g\left(x\right)$ miatt tetszőleges $h$ mellett páros, a kívánt (1) összefüggés tehát egyetlen $h$-ra sem teljesülhet.   II. megoldás. Megmutatjuk, hogy (1) már az $x=1$ és $x=-1$ helyeken sem teljesülhet egyetlen $h$ mellett sem. (1) bal oldalán ugyanis mindkét helyen $h\left(2\right)+h\left(4\right)$ áll, ugyanakkor a jobb oldalon $g\left(f\left(l\right)\right)=14\ne g\left(f\left(-1\right)\right)=4$.