Feladat: Metresis 30. feladata Korcsoport: 18- Nehézségi fok: -
Füzet: 1894/július, 65 - 67. oldal  PDF file
Témakör(ök): Függvényvizsgálat differenciálszámítással, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletrendszerek, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Egyenesek egyenlete, Hiperbola egyenlete, Kúpszeletek érintői, Mértani helyek, Síkbeli szimmetrikus alakzatok, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1894/július: Metresis 30. feladata

Egy sík minden M pontján keresztül két hyperbola rajzolhaltó, melyeknek egyenletei az Ox,Oy derékszögű koordináta tengelyekre vonatkoztatva
a2xy+ay+x=0,
hol a változó paraméter; mily (C) görbe-vonalon kell az M pontnak feküdnie, hogy a hiperbolák e pontban derékszög alatt messék egymást?
Hány pontban metszi a (C) görbe-vonat az a2xy+ay+x=0 egyenletű hyperbolákat. Csak azon pontok veendők tekintetbe, melyek sem végtelen távol nincsenek, sem a koordináta rendszer kezdőpontjával nem esnek egybe.
Mily összefüggésnek kell a és b között fennállania, hogy a következő két hyperbola, melyeknek egyenletei
a2xy+ay+x=0,
b2xy+by+x=0,
egymást derékszög alatt messe oly pontban, mely külömbözik a koordináta-rendszer kezdőpontjától. Ezen összefüggés egy (C') görbe-vonalat értelmez; szerkesztendő a görbe-vonal. Hány véges és a kezdőponttól külömböző pontban metszi az előbb értelmezett (C) görbe-vonal a (C') görbe vonalat?
(Licenciatusi stipendium elnyeréséért versenyzők írásbeli dolgozata, 1894.)

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jegyzet a 30. feladat megoldásához.
 
I.
Hogy az
a2u4-au-1=0
egyenletnek csak 2 valós, még pedig egy positív és egy negatív gyöke van, azt a Descartes-féle jelszabály segítségével ismerhetjük fel. E szabály következőképpen hangzik:
Valamely egyenletben a positív gyökök száma sohasem nagyobb az ezen egyenletben foglalt jelváltozások számánál.
Valamely egyenletben a negatív gyökök száma sohasem nagyobb, mint a megfelelő negatív*) egyenletben foglalt jelváltozások száma.
 

Minthogy a jelek sorozata az
a2u4-au-1=0
egyenletben
+--
a jelváltozások száma 1, s így legfeljebb 1 positív gyök létezik. A negatív egyenletben a jelek sorozata a következő:
++-
így a jelváltozások száma ismét 1. Minthogy végre az
a2u4-au-1=0
egyenlet első és utolsó tagja ellenkező előjelű, az egyenletnek legalább egy valós gyöke van; minthogy másrészt az egyenlet fokszáma páros, az egy valós gyök mellett még egy valós gyöknek kell előfordulni. Ezen eredmény összevetéséből a Descartes-féle jelszabály eredményeivel, következik, hogy az egyenletnek 2 és csak 2 valós gyöke van, még pedig egy positív és egy negatív. A Descartes-féle jelszabály levezetése megtalálható: König Gyula " Analízis" első kötete, második részének 132. és 133. pontjaiban.
 

*) A g(x)=0 egyenletnek megfelelő negatív egyenlet a (g-x)=0.
II.
Hogy az
u9+(u+1)4=0
egyenletnek csak egy valós gyöke van, mely 0 és 1 között fekszik, az Sturm-tételével mutatható ki.
Hogy ezt megfogalmazhassuk, a következőket kell előrebocsátanunk:
Legyen adva az f(x)=0 egyenlet s képezzük az f'(x)=0 egyenletet, melyben f'(x) az f(x)-ből a következőképpen származtatandó:
f'(x)=limh=0f(x+h)-f(x)h
Osszuk el már most az f(x)-et, vagy annak valamely tetszésszerinti állandó A1 számmal szorzott alakját f(x)-szel s legyen az osztás hányadosa q1(x), a maradék -R1(x). Ekkor
A1f(x)=f'(x)q1(x)-R1(x)
képezzük továbbá a következő analog alakú egyenleteket:
A1f'(x)=R1(x)q2(x)-R2(x)
AkRk-2(x)=Rk-1(x)qk(x)-Rk(x)
Al=Rl-2(x)=R1-l(x)ql(x)-Rl,
hol A1...Al positív számok és Rl végre az x-től független számérték.
A Sturn-féle függvények sorozata a következő:
f(x),f'(x),R1(x),...,Rk-1(x),Rk(x)Rk+1(x),...,R1.
Ezek után Sturm-tétele a következőképpen hangzik:
Legyen a és b két valós szám, és a<b; e számok helyettesítése a Sturm-féle függvények sorozatába két számsort ad, melyben a jelváltozások száma legyen Va, illetőleg Vb. Ekkor Va-Vb positív egész szám vagy 0, és pontosan az f(x)=0 egyenlet azon αi gyökeinek száma, melyekre nézve a<αib.**)
Minthogy az
f(u)=u9+(1+u)4=0
egyenletben
f(-1)=-1,f(0)=+1;
továbbá minden más k<-1 negatív számra nézve f=(k)<0, s minden l>0 számra nézve f(l)>0, az egyenletnek csak a (-1)-től 0-ig terjedő számtartományban lehetnek valós gyökei, e tartomány határainak, az a=-1 és b=0 számoknak, az egyenlet Sturm-féle függvényei sorozatába való helyettesítése után oly két számsorozatot kapunk, melyekben a jelváltozások számaira,
V-1-V0=1.
Így tehát az
u9+(u+1)4=0
egyenletnek egy és csak egy valós gyöke van, s ez a (-1) és 0 határok közé esik.
**)Lásd ugyancsak König "Analizis" czimű művében a második rész 134. és 135. pontjait.