Feladat:	Metresis 30. feladata	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: -
Füzet:	1894/július, 65 - 67. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Függvényvizsgálat differenciálszámítással, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletrendszerek, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Egyenesek egyenlete, Hiperbola egyenlete, Kúpszeletek érintői, Mértani helyek, Síkbeli szimmetrikus alakzatok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1894/július: Metresis 30. feladata

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Jegyzet a 30. feladat megoldásához.   I. Hogy az $\begin{array}{c}{\displaystyle a^2{u}^4-au-1=0}\end{array}$ egyenletnek csak $2$ valós, még pedig egy positív és egy negatív gyöke van, azt a Descartes-féle jelszabály segítségével ismerhetjük fel. E szabály következőképpen hangzik: Valamely egyenletben a positív gyökök száma sohasem nagyobb az ezen egyenletben foglalt jelváltozások számánál. Valamely egyenletben a negatív gyökök száma sohasem nagyobb, mint a megfelelő negatív*) egyenletben foglalt jelváltozások száma.   Minthogy a jelek sorozata az $\begin{array}{c}{\displaystyle a^2{u}^4-au-1=0}\end{array}$ egyenletben $\begin{array}{c}{\displaystyle +--}\end{array}$ a jelváltozások száma $1$, s így legfeljebb $1$ positív gyök létezik. A negatív egyenletben a jelek sorozata a következő: $\begin{array}{c}{\displaystyle ++-}\end{array}$ így a jelváltozások száma ismét $1$. Minthogy végre az $\begin{array}{c}{\displaystyle a^2{u}^4-au-1=0}\end{array}$ egyenlet első és utolsó tagja ellenkező előjelű, az egyenletnek legalább egy valós gyöke van; minthogy másrészt az egyenlet fokszáma páros, az egy valós gyök mellett még egy valós gyöknek kell előfordulni. Ezen eredmény összevetéséből a Descartes-féle jelszabály eredményeivel, következik, hogy az egyenletnek $2$ és csak $2$ valós gyöke van, még pedig egy positív és egy negatív. A Descartes-féle jelszabály levezetése megtalálható: König Gyula " Analízis" első kötete, második részének 132. és 133. pontjaiban.   *) A $g\left(x\right)=0$ egyenletnek megfelelő negatív egyenlet a $\left(g-x\right)=0$. II. Hogy az $\begin{array}{c}{\displaystyle u^9+{\left(u+1\right)}^4=0}\end{array}$ egyenletnek csak egy valós gyöke van, mely $0$ és $1$ között fekszik, az Sturm-tételével mutatható ki. Hogy ezt megfogalmazhassuk, a következőket kell előrebocsátanunk: Legyen adva az $f\left(x\right)=0$ egyenlet s képezzük az $f\text{'}\left(x\right)=0$ egyenletet, melyben $f\text{'}\left(x\right)$ az $f\left(x\right)$-ből a következőképpen származtatandó: $\begin{array}{c}{\displaystyle f\text{'}\left(x\right)=\underset{h=0}{\overset{}{\text{lim}}}\frac{f\left(x+h\right)-f\left(x\right)}{h}}\end{array}$ Osszuk el már most az $f\left(x\right)$-et, vagy annak valamely tetszésszerinti állandó $A_1$ számmal szorzott alakját $f\left(x\right)$-szel s legyen az osztás hányadosa $q_1\left(x\right)$, a maradék $-R_1\left(x\right)$. Ekkor $\begin{array}{c}{\displaystyle A_{1}f\left(x\right)=f\text{'}\left(x\right)q_1\left(x\right)-R_1\left(x\right)}\end{array}$ képezzük továbbá a következő analog alakú egyenleteket: $\begin{array}{c}{\displaystyle A_{1}f\text{'}\left(x\right)=R_1\left(x\right)q_2\left(x\right)-R_2\left(x\right)}\end{array}$ $\begin{array}{c}{\displaystyle A_k{R}_{k-2}\left(x\right)=R_{k-1}\left(x\right)q_k\left(x\right)-R_k\left(x\right)}\end{array}$ $\begin{array}{c}{\displaystyle A_l=R_{l-2}\left(x\right)=R_{1-l}\left(x\right)q_l\left(x\right)-R_l\mathrm{,}}\end{array}$ hol $A_1\text{...}{A}_l$ positív számok és $R_l$ végre az $x$-től független számérték. A Sturn-féle függvények sorozata a következő: $\begin{array}{c}{\displaystyle f\left(x\right)\mathrm{,}f\text{'}\left(x\right)\mathrm{,}{R}_1\left(x\right)\mathrm{,}\text{...}\mathrm{,}{R}_{k-1}\left(x\right)\mathrm{,}{R}_k\left(x\right)R_{k+1}\left(x\right)\mathrm{,}\text{...}\mathrm{,}{R}_1\mathrm{.}}\end{array}$ Ezek után Sturm-tétele a következőképpen hangzik: Legyen $a$ és $b$ két valós szám, és $a<b$; e számok helyettesítése a Sturm-féle függvények sorozatába két számsort ad, melyben a jelváltozások száma legyen $V_a$, illetőleg $V_b$. Ekkor $V_a-V_b$ positív egész szám vagy $0$, és pontosan az $f\left(x\right)=0$ egyenlet azon ${\alpha }_i$ gyökeinek száma, melyekre nézve $a<{\alpha }_i\leqq b\mathrm{.}**)$ Minthogy az $\begin{array}{c}{\displaystyle f\left(u\right)=u^9+{\left(1+u\right)}^4=0}\end{array}$ egyenletben $\begin{array}{c}{\displaystyle f\left(-1\right)=-\mathrm{1,}f\left(0\right)=+1;}\end{array}$ továbbá minden más $k<-1$ negatív számra nézve $f=\left(k\right)<0$, s minden $l>0$ számra nézve $f\left(l\right)>0$, az egyenletnek csak a $\left(-1\right)$-től $0$-ig terjedő számtartományban lehetnek valós gyökei, e tartomány határainak, az $a=-1$ és $b=0$ számoknak, az egyenlet Sturm-féle függvényei sorozatába való helyettesítése után oly két számsorozatot kapunk, melyekben a jelváltozások számaira, $\begin{array}{c}{\displaystyle V_{-1}-V_0=1.}\end{array}$ Így tehát az $\begin{array}{c}{\displaystyle u^9+{\left(u+1\right)}^4=0}\end{array}$ egyenletnek egy és csak egy valós gyöke van, s ez a $\left(-1\right)$ és $0$ határok közé esik. **)Lásd ugyancsak König "Analizis" czimű művében a második rész 134. és 135. pontjait.