Feladat: Metresis 30. feladata Korcsoport: 18- Nehézségi fok: -
Füzet: 1894/július, 60 - 64. oldal  PDF file
Témakör(ök): Függvényvizsgálat differenciálszámítással, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletrendszerek, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Egyenesek egyenlete, Hiperbola egyenlete, Kúpszeletek érintői, Mértani helyek, Síkbeli szimmetrikus alakzatok, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1894/július: Metresis 30. feladata

Egy sík minden M pontján keresztül két hyperbola rajzolhaltó, melyeknek egyenletei az Ox,Oy derékszögű koordináta tengelyekre vonatkoztatva
a2xy+ay+x=0,
hol a változó paraméter; mily (C) görbe-vonalon kell az M pontnak feküdnie, hogy a hiperbolák e pontban derékszög alatt messék egymást?
Hány pontban metszi a (C) görbe-vonat az a2xy+ay+x=0 egyenletű hyperbolákat. Csak azon pontok veendők tekintetbe, melyek sem végtelen távol nincsenek, sem a koordináta rendszer kezdőpontjával nem esnek egybe.
Mily összefüggésnek kell a és b között fennállania, hogy a következő két hyperbola, melyeknek egyenletei
a2xy+ay+x=0,
b2xy+by+x=0,
egymást derékszög alatt messe oly pontban, mely külömbözik a koordináta-rendszer kezdőpontjától. Ezen összefüggés egy (C') görbe-vonalat értelmez; szerkesztendő a görbe-vonal. Hány véges és a kezdőponttól külömböző pontban metszi az előbb értelmezett (C) görbe-vonal a (C') görbe vonalat?
(Licenciatusi stipendium elnyeréséért versenyzők írásbeli dolgozata, 1894.)

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Annak kifejezésére, hogy az (a) görbe-vonal az M(α,β) ponton megy keresztül, a következő egyenletet nyerjük:

a2αβ+aβ+α=01)
mely a-nak két értékét a'-et és a''-t szolgáltatja. Fejezzük ki azon körülményt; hogy az (a') és (a'') hyperbolák érintői az M pontban egymásra merőlegesek, egyenlet alakjában. E hyperbolák érintői a következő egyenletek által advák:
(a'2β+1)(x-α)+(a'2α+a')(y-β)=0
(a''2β+1)(x-α)+(a''2α+a'')(y-β)=0
tehát a merőlegesség feltétele
(a'2β+1)(a''2β+1)+(a'2α+a')(a''2α+a'')=0
vagy kifejtve
(a'2a''2(α2+β2)+(a'2+a''2)β+a'a''(a'+a'')α+a'a''+1=02)
Az 1) alatti egyenletből következik, hogy:
a'a''=1βa'+a''=-1α
miből
a'2+a''2=(a'+a'')2-2a'a''=1α2-2β
Ezen értékeket a 2)-be helyettesítve, ez a következő alakot veszi fel:
α2+β2β2+βα2-1=0;
vagy a nevezők eltávolítása után
α4+β3=0
A (C) tehát negyedrendű, parabolikus görbe-vonal. Hogy az
x4+y3=0
a2xy+ay+x=0
görbe vonalak valós és véges távolságban fekvő metszéspontjainak számáról tájékozódhassunk, keressük azon egyenes vonalak számát, melyek a koordináta-rendszer kezdőpontján és a két görbe-vonal egy-egy metszéspontján mennek keresztül. Egy ilyen egyenes egyenlete:
y=ux
Ezen egyenletből és a két megelőzőből kiküszöböljük az x-et és y-t. A hány valós gyöke lesz a származó egyenletnek, melyben u az ismeretlen, annyi lesz a keresett pontok száma. A kiküszöbölés után nyert egyenlet a következő:
a2u4-au-1=0
Ezen egyenletnek csak 2 valós, még pedig egy positív és egy negatív gyöke van.*) Ha α és β a coordinátái az
a2xy+ay+x=0
b2xy+by+x=0
egyenletek által értelmezett hyperbolák egy közös pontjának, annak feltételét, hogy e görbevonalak merőlegesek egymással az M(α,β) pontban, a következő egyenlet fejezi ki.
(a2β+1)(b2β+1)+(a2α+a)(b2α+b)=0
s ha ebben α és β helyébe az
a2αβ+aβ+α=0
b2αβ+bβ+α=0
egyenletekből nyert értékeket helyettesítjük, az a és b között relácziót nyerünk, mely a (C') görbe vonalat értelmezi. Kiküszöbölve a megelőző egyenletekből αβ-át, a következő egyenlete nyerjük:
abβ+(a+b)α=0
melyből és a következőből:
a2αβ+aβ+α=0
β=1ab
α=-1a+b
A (C') egyenlete tehát
(a21ab+1)(b21ab+1)+ab(1-aa+b)(1-ba+b)=0
vagy a nevezők eltávolítása után
(a+b)4+a3b3=0
Ha a-t és b-t egy pont koordinátáinak tekintjük, e reláczió egy görbevonalat értelmez, melynek egyenlete
(x+y)4+x3y3=0(C')
A (C') görbevonal keresztül megy a koordináta rendszer kezdőpontján. Keressük érintőjét e pontban.
Az érintő alakja a következő lesz:
y-ux=0
kérdezzük, hogy az u mely értékeinél lesz ez egyenesnek és a (C') görbevonalnak legalább két egybeeső pontja? Kiküszöbölve y-t a két egyenletből, a következőt nyerjük:
x2=-(1+u)4u3
s ez egyenlet két gyöke akkor egyenlő, ha u=-1; a keresett érintő egyenlete tehát
x+y=0
vagyis oly egyenes, mely a positív x tengellyel 135-nyi szöget képez.
Látható továbbá a (C') alatti egyenletből, hogy a görbevonalnak valós pontjai csak ott vannak, hol a pontok koordinátái különböző előjelűek; vagy az
y=ux
x2=-(1+u)4u3
egyenletekből, ha u<0.
A görbevonal czentrikusan-szimmetrikus a koordinátarendszer kezdőpontjára nézve; elegendő x2 változásait tanulmányozni, ha u változik; u változhatik --tól 0-ig.
Vizsgáljuk tehát a
z=-(1+u)4u3
függvény változásait. A függvény derivátája, vagyis a
limu1=uz1-zu1-u=z'=(1+u)3u4(3-u)
kifejezés előjele mindig megegyezik az (1+u) előjelével; az x2=z változásait tehát a következő táblázat tünteti fel:
 

u   ---1-0z'   --0++x2+fogy0növekedik+
 

Keressük már most a (C) és a (C') metszéspontjait. Küszöböljük ki ismét az

x3y3+(x+y)4=0x4+y3=0y-ux=0
egyenletekből az x-et és az y-t. Az eredmény a következő:
u9+(1+u)4=0
Ugyancsak a következő czikk**) fejtegetéséből következik, hogy a fenntebbi egyenletnek csak egy valós gyöke van, mely 1 és -1 között fekszik. A két görbevonal tehát csak egy véges és a kezdőponttól különböző pontban metszi egymást.
*) Lásd a következő czikket.
**) Jelen számból térszűke miatt kimaradt. A jövő kettős számban fogjuk közölni.
Szerk.