Kezdőlap


Feladat:	Metresis 30. feladata	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: -
Füzet:	1894/július, 60 - 64. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Függvényvizsgálat differenciálszámítással, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletrendszerek, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Egyenesek egyenlete, Hiperbola egyenlete, Kúpszeletek érintői, Mértani helyek, Síkbeli szimmetrikus alakzatok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1894/július: Metresis 30. feladata

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Annak kifejezésére, hogy az $(a)$ görbe-vonal az $M (α, β)$ ponton megy keresztül, a következő egyenletet nyerjük:

\begin{matrix} a^{2} α β + a β + α = 0 \end{matrix}

mely

a

-nak két értékét

a'

-et és

a''

-t szolgáltatja. Fejezzük ki azon körülményt; hogy az

(a')

és

(a'')

hyperbolák érintői az

M

pontban egymásra merőlegesek, egyenlet alakjában. E hyperbolák érintői a következő egyenletek által advák:

\begin{matrix} (a'^{2} β + 1) (x - α) + (a'^{2} α + a') (y - β) = 0 \end{matrix}

\begin{matrix} (a''^{2} β + 1) (x - α) + (a''^{2} α + a'') (y - β) = 0 \end{matrix}

tehát a merőlegesség feltétele

\begin{matrix} (a'^{2} β + 1) (a''^{2} β + 1) + (a'^{2} α + a') (a''^{2} α + a'') = 0 \end{matrix}

vagy kifejtve

\begin{matrix} (a'^{2} a''^{2} (α^{2} + β^{2}) + (a'^{2} + a''^{2}) β + a' a'' (a' + a'') α + a' a'' + 1 = 0 \end{matrix}

1)

alatti egyenletből következik, hogy:

\begin{matrix} a' a'' = \frac{1}{β} a' + a'' = - \frac{1}{α} \end{matrix}

miből

\begin{matrix} a'^{2} + a''^{2} = {(a' + a'')}^{2} - 2 a' a'' = \frac{1}{α^{2}} - \frac{2}{β} \end{matrix}

Ezen értékeket a

2)

-be helyettesítve, ez a következő alakot veszi fel:

\begin{matrix} \frac{α^{2} + β^{2}}{β^{2}} + \frac{β}{α^{2}} - 1 = 0; \end{matrix}

vagy a nevezők eltávolítása után

\begin{matrix} α^{4} + β^{3} = 0 \end{matrix}

(C)

tehát negyedrendű, parabolikus görbe-vonal. Hogy az

\begin{matrix} x^{4} + y^{3} = 0 \end{matrix}

\begin{matrix} a^{2} x y + a y + x = 0 \end{matrix}

görbe vonalak valós és véges távolságban fekvő metszéspontjainak számáról tájékozódhassunk, keressük azon egyenes vonalak számát, melyek a koordináta-rendszer kezdőpontján és a két görbe-vonal egy-egy metszéspontján mennek keresztül. Egy ilyen egyenes egyenlete:

\begin{matrix} y = u x \end{matrix}

Ezen egyenletből és a két megelőzőből kiküszöböljük az

x

-et és

y

-t. A hány valós gyöke lesz a származó egyenletnek, melyben

u

az ismeretlen, annyi lesz a keresett pontok száma. A kiküszöbölés után nyert egyenlet a következő:

\begin{matrix} a^{2} u^{4} - a u - 1 = 0 \end{matrix}

Ezen egyenletnek csak

2

valós, még pedig egy positív és egy negatív gyöke van.*) Ha

α

és

β

a coordinátái az

\begin{matrix} a^{2} x y + a y + x = 0 \end{matrix}

\begin{matrix} b^{2} x y + b y + x = 0 \end{matrix}

egyenletek által értelmezett hyperbolák egy közös pontjának, annak feltételét, hogy e görbevonalak merőlegesek egymással az

M (α, β)

pontban, a következő egyenlet fejezi ki.

\begin{matrix} (a^{2} β + 1) (b^{2} β + 1) + (a^{2} α + a) (b^{2} α + b) = 0 \end{matrix}

s ha ebben

α

és

β

helyébe az

\begin{matrix} a^{2} α β + a β + α = 0 \end{matrix}

\begin{matrix} b^{2} α β + b β + α = 0 \end{matrix}

egyenletekből nyert értékeket helyettesítjük, az

a

és

b

között relácziót nyerünk, mely a

(C')

görbe vonalat értelmezi. Kiküszöbölve a megelőző egyenletekből

α β

-át, a következő egyenlete nyerjük:

\begin{matrix} a b β + (a + b) α = 0 \end{matrix}

melyből és a következőből:

\begin{matrix} a^{2} α β + a β + α = 0 \end{matrix}

\begin{matrix} β = \frac{1}{a b} \end{matrix}

\begin{matrix} α = - \frac{1}{a + b} \end{matrix}

(C')

egyenlete tehát

\begin{matrix} (a^{2} \frac{1}{a b} + 1) (b^{2} \frac{1}{a b} + 1) + a b (1 - \frac{a}{a + b}) (1 - \frac{b}{a + b}) = 0 \end{matrix}

vagy a nevezők eltávolítása után

\begin{matrix} {(a + b)}^{4} + a^{3} b^{3} = 0 \end{matrix}

a

-t és

b

-t egy pont koordinátáinak tekintjük, e reláczió egy görbevonalat értelmez, melynek egyenlete

\begin{matrix} {(x + y)}^{4} + x^{3} y^{3} = 0 \end{matrix}

(C')

(C')

görbevonal keresztül megy a koordináta rendszer kezdőpontján. Keressük érintőjét e pontban.
Az érintő alakja a következő lesz:

\begin{matrix} y - u x = 0 \end{matrix}

kérdezzük, hogy az

u

mely értékeinél lesz ez egyenesnek és a

(C')

görbevonalnak legalább két egybeeső pontja? Kiküszöbölve

y

-t a két egyenletből, a következőt nyerjük:

\begin{matrix} x^{2} = - \frac{{(1 + u)}^{4}}{u^{3}} \end{matrix}

s ez egyenlet két gyöke akkor egyenlő, ha

u = - 1

; a keresett érintő egyenlete tehát

\begin{matrix} x + y = 0 \end{matrix}

vagyis oly egyenes, mely a positív

x

tengellyel

135^{\circ}

-nyi szöget képez.
Látható továbbá a

(C')

alatti egyenletből, hogy a görbevonalnak valós pontjai csak ott vannak, hol a pontok koordinátái különböző előjelűek; vagy az

\begin{matrix} y = u x \end{matrix}

\begin{matrix} x^{2} = - \frac{{(1 + u)}^{4}}{u^{3}} \end{matrix}

egyenletekből, ha

u < 0

.
A görbevonal czentrikusan-szimmetrikus a koordinátarendszer kezdőpontjára nézve; elegendő

x^{2}

változásait tanulmányozni, ha

u

változik;

u

változhatik

- \infty

-tól

0

-ig.
Vizsgáljuk tehát a

\begin{matrix} z = - \frac{{(1 + u)}^{4}}{u^{3}} \end{matrix}

függvény változásait. A függvény derivátája, vagyis a

\begin{matrix} {lim}_{u_{1} = u}^{} \frac{z_{1} - z}{u_{1} - u} = z' = \frac{{(1 + u)}^{3}}{u^{4}} (3 - u) \end{matrix}

kifejezés előjele mindig megegyezik az

(1 + u)

előjelével; az

x^{2} = z

változásait tehát a következő táblázat tünteti fel:

\begin{matrix} u & - \infty & - & - 1 & - & 0 \\ z' & - \infty & - & 0 & + & + \infty \\ x^{2} & + \infty & fogy & 0 & növekedik & + \infty \end{matrix}

Keressük már most a

(C)

és a

(C')

metszéspontjait. Küszöböljük ki ismét az

\begin{matrix} x^{3} y^{3} + {(x + y)}^{4} & = 0 \\ x^{4} + y^{3} & = 0 \\ y - u x & = 0 \end{matrix}

egyenletekből az

x

-et és az

y

-t. Az eredmény a következő:

\begin{matrix} u^{9} + {(1 + u)}^{4} = 0 \end{matrix}

Ugyancsak a következő czikk**) fejtegetéséből következik, hogy a fenntebbi egyenletnek csak egy valós gyöke van, mely

1

és

- 1

között fekszik. A két görbevonal tehát csak egy véges és a kezdőponttól különböző pontban metszi egymást.
*) Lásd a következő czikket.
**) Jelen számból térszűke miatt kimaradt. A jövő kettős számban fogjuk közölni.

Szerk.