Feladat: Metresis 27. feladata Korcsoport: 18- Nehézségi fok: -
Füzet: 1894/július, 69 - 70. oldal  PDF file
Témakör(ök): Algebrai átalakítások, Egyenletrendszerek, Körülírt kör, Projektív geometria, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1894/július: Metresis 27. feladata

Rajzoljunk az ABC háromszög körül kört és húzzuk meg ennek érintőit a B és C pontokban. Legyen ezek metszéspontja P. Húzzunk a P pontból tetszés szerinti egyenest, mely az AC egyenest B' és az AB egyenest C' pontokban, a kört pedig Q és R pontokban metszi. Bizonyíttassék be, miszerint
C'Q:B'Q=C'R:-B'R.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Nevezzük a BC és QR egyenesek metszéspontját A'-nek.
Kimutatható, hogy

(C'B'QR)=(PA'QR).
Minthogy az A(BCQR) sugársor szögei: BAP,CAQ,BAR és CAR rendre egyenlők a B(PCQR) sugársor szögeivel: PBC,CBQ,PBR és CBR szögekkel, e két sugársor úgy egymásra fektethető, hogy B az A-ra jut, és az AB,AC,AQ és AR egyenesek (nem távolságok) a BP,BC,BQ és BR egyenesekkel (nem távolságokkal) összeesnek.
Vigyük rá az AB egyenesre az AP1=BP, az AC egyenesre az AA1=BA', az AQ egyenesre az AQ1=BQ és végre az AR egyenesre az AR1=BR távolságokat. Ekkor P1,A1Q1 és R1 egy egyenesbe esnek és
(P1A1Q1R1)=(PA'QR).
De az előbbi feladat eredménye értelmében
(C'B'QR)=(P1A1Q1R1)
tehát
(C'B'QR)=(PA'QR).
Hasonlóképpen kimutatható az A(BCQR) és C(BPQR) sugársorok egybevágóságából, hogy
(C'B'QR)=(A'PQR).
Keressük már most a (PA'QR)=(A'PQR) symbolum számértékét. A symbolum értelmezésénél fogva
PQA'Q:PRA'R=A'QPQ:ARPR
miből
PQA'Q:A'QPQ=PRA'R:A'RPR
Vagy
PQ2A'Q2=PR2A'R2

mely egyenlőségből továbbá
[PQA'Q:PRA'R]2=1
és így
(PA'QR)=(A'PQR)=±1
A két symbolum számértéke azonban csak akkor lehetne egyenlő a positív egységgel, ha 0 egybeesnék R-rel. Minthogy ezen eset általánosságban nem áll fönn, az érték csak a negatív egység lehet.
Vagyis
(PA'QR)=(A'PQR)=(C'B'QR)=-1
De ez utóbbi egyenletből
C'Q:B'Q::C'R:B'R=-1
azaz
C'Q:B'Q=C'R:-B'R.