Kezdőlap


Feladat:	Metresis 27. feladata	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: -
Füzet:	1894/július, 69 - 70. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Algebrai átalakítások, Egyenletrendszerek, Körülírt kör, Projektív geometria, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1894/július: Metresis 27. feladata

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Nevezzük a $B C$ és $Q R$ egyenesek metszéspontját $A'$ -nek.
Kimutatható, hogy

\begin{matrix} (C' B' Q R) = (P A' Q R) . \end{matrix}

Minthogy az

A (B C Q R)

sugársor szögei:

B A P, C A Q, B A R

és

C A R

rendre egyenlők a

B (P C Q R)

sugársor szögeivel:

P B C, C B Q, P B R

és

C B R

szögekkel, e két sugársor úgy egymásra fektethető, hogy

B

A

-ra jut, és az

A B, A C, A Q

és

A R

egyenesek (nem távolságok) a

B P, B C, B Q

és

B R

egyenesekkel (nem távolságokkal) összeesnek.
Vigyük rá az

A B

egyenesre az

A P_{1} = B P,

A C

egyenesre az

A A_{1} = B A'

, az

A Q

egyenesre az

A Q_{1} = B Q

és végre az

A R

egyenesre az

A R_{1} = B R

távolságokat. Ekkor

P_{1}, A_{1} Q_{1}

és

R_{1}

egy egyenesbe esnek és

\begin{matrix} (P_{1} A_{1} Q_{1} R_{1}) = (P A' Q R) . \end{matrix}

De az előbbi feladat eredménye értelmében

\begin{matrix} (C' B' Q R) = (P_{1} A_{1} Q_{1} R_{1}) \end{matrix}

tehát

\begin{matrix} (C' B' Q R) = (P A' Q R) . \end{matrix}

Hasonlóképpen kimutatható az

A (B C Q R)

és

C (B P Q R)

sugársorok egybevágóságából, hogy

\begin{matrix} (C' B' Q R) = (A' P Q R) . \end{matrix}

Keressük már most a

(P A' Q R) = (A' P Q R)

symbolum számértékét. A symbolum értelmezésénél fogva

\begin{matrix} \frac{P Q}{A' Q} : \frac{P R}{A' R} = \frac{A' Q}{P Q} : \frac{A R}{P R} \end{matrix}

miből

\begin{matrix} \frac{P Q}{A' Q} : \frac{A' Q}{P Q} = \frac{P R}{A' R} : \frac{A' R}{P R} \end{matrix}

Vagy

\begin{matrix} \frac{P Q^{2}}{A' Q^{2}} = \frac{P R^{2}}{A' R^{2}} \end{matrix}

mely egyenlőségből továbbá

\begin{matrix} {[\frac{P Q}{A' Q} : \frac{P R}{A' R}]}^{2} = 1 \end{matrix}

és így

\begin{matrix} (P A' Q R) = (A' P Q R) = \pm 1 \end{matrix}

A két symbolum számértéke azonban csak akkor lehetne egyenlő a positív egységgel, ha

0

egybeesnék

R

-rel. Minthogy ezen eset általánosságban nem áll fönn, az érték csak a negatív egység lehet.
Vagyis

\begin{matrix} (P A' Q R) = (A' P Q R) = (C' B' Q R) = - 1 \end{matrix}

De ez utóbbi egyenletből

\begin{matrix} C' Q : B' Q : : C' R : B' R = - 1 \end{matrix}

azaz

\begin{matrix} C' Q : B' Q = C' R : - B' R . \end{matrix}