Feladat: N.122 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Bérczi Gergely ,  Braun Gábor ,  Frenkel Péter ,  Lippner Gábor ,  Pap Gyula ,  Terpai Tamás 
Füzet: 1997/május, 290 - 292. oldal  PDF file
Témakör(ök): Abszolútértékes egyenlőtlenségek, Irracionális egyenlőtlenségek, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenlőtlenségek, Oszthatósági feladatok, Nehéz feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1996/december: N.122

Igazoljuk, hogy ha az a, b, c egész számok között van 0-tól különböző, akkor
|43a+23b+c|14a2+3b2+2c2.(4)


A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Fel fogjuk használni az ismert (és könnyen ellenőrizhető)

x3+y3+z3-3xyz=(x+y+z)(x2+y2+z2-xy-yz-zx)(1)
azonosságot, valamint hogy
x2+y2+z2-xy-yz-zx=12(x-y)2+12(y-z)2+12(z-x)20(2)
és
x2+y2+z2-xy-yz-zx=32(x2+y2+z2)-12(x+y+z)232(x2+y2+z2).(3)

Ha behelyettesítjük (1)-be az x=43a, y=23b, z=c számokat, a bal oldalon a
4a3+2b3+c3-6abc kifejezés fog állni. Először megmutatjuk, hogy ennek értéke 0-tól különböző egész szám. Az hogy egész, triviális, mert a, b, c egészek. Indirekt bizonyítást alkalmazunk. Tegyük fel, hogy 4a3+2b3+c3-6abc lehet 0 úgy, hogy a, b, c nem mind 0. Tekintsünk az ilyen a, b, c, számhármasok közül egy olyat, amelyben |a|+|b|+|c| minimális. A c páros, mert c3 kivételével az összes tag biztosan páros. Ekkor viszont b is páros, mert 2b3-től eltekintve mindegyik tag osztható 4-gyel. Végül a is páros, mert a 2b3+c3-6abc kifejezés osztható 8-cal. Ha a, b, c mindegyike páros, akkor az a1=a2, b1=b2, c1=c2 számokra
4a13+2b13+c13-6a1b1c1=18(4a3+2b3+c3-6abc)=0, viszont ez ellentmond annak, hogy |a|+|b|+|c| minimális.
Az eddigiek alapján tehát
1|4a3+2b3+c3-6abc|==|43a+23b+c|(223a2+43b2+c2-2ab-23bc-43ca)|43a+23b+c|32(223a2+43b2+c2)<|43a+23b+c|(4a2+3b2+2c2).

Ebből az állítás egyszerű átrendezéssel adódik.
 Pap Gyula (Debrecen, Fazekas M. Gimn., IV.o.t.) dolgozata nyomán

 

Megjegyzés. A megoldásban azt az erősebb állítást láttuk be, hogy
|43a+23b+c|>1323a2+3243b2+32c2.

A jobb oldal nevezőjében szereplő konstansok élesek. Definiáljuk minden n pozitív egészre az (an,bn,cn) számhármast a következőképpen:
43an+23bn+cn=(23-1)n.
A fentiek alapján nem nehéz bebizonyítani, hogy
(43an+23bn+cn)(323an2+3243bn2+32cn2)1.