Kezdőlap


Feladat:	N.122	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Bérczi Gergely , Braun Gábor , Frenkel Péter , Lippner Gábor , Pap Gyula , Terpai Tamás
Füzet:	1997/május, 290 - 292. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Abszolútértékes egyenlőtlenségek, Irracionális egyenlőtlenségek, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenlőtlenségek, Oszthatósági feladatok, Nehéz feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1996/december: N.122

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Fel fogjuk használni az ismert (és könnyen ellenőrizhető)

\begin{matrix} x^{3} + y^{3} + z^{3} - 3 x y z = (x + y + z) (x^{2} + y^{2} + z^{2} - x y - y z - z x) \end{matrix}

(1)

azonosságot, valamint hogy

\begin{matrix} x^{2} + y^{2} + z^{2} - x y - y z - z x = \frac{1}{2} {(x - y)}^{2} + \frac{1}{2} {(y - z)}^{2} + \frac{1}{2} {(z - x)}^{2} \geq 0 \end{matrix}

(2)

és

\begin{matrix} x^{2} + y^{2} + z^{2} - x y - y z - z x = \frac{3}{2} (x^{2} + y^{2} + z^{2}) - \frac{1}{2} {(x + y + z)}^{2} \leq \frac{3}{2} (x^{2} + y^{2} + z^{2}) . \end{matrix}

(3)

Ha behelyettesítjük (1)-be az

x = \sqrt[3]{4} a

y = \sqrt[3]{2} b

z = c

számokat, a bal oldalon a

4 a^{3} + 2 b^{3} + c^{3} - 6 a b c

kifejezés fog állni. Először megmutatjuk, hogy ennek értéke 0-tól különböző egész szám. Az hogy egész, triviális, mert

a

b

c

egészek. Indirekt bizonyítást alkalmazunk. Tegyük fel, hogy

4 a^{3} + 2 b^{3} + c^{3} - 6 a b c

lehet 0 úgy, hogy

a

b

c

nem mind 0. Tekintsünk az ilyen

a

b

c

, számhármasok közül egy olyat, amelyben

| a | + | b | + | c |

minimális. A

c

páros, mert

c^{3}

kivételével az összes tag biztosan páros. Ekkor viszont

b

is páros, mert

2 b^{3}

-től eltekintve mindegyik tag osztható 4-gyel. Végül

a

is páros, mert a

2 b^{3} + c^{3} - 6 a b c

kifejezés osztható 8-cal. Ha

a

b

c

mindegyike páros, akkor az

a_{1} = \frac{a}{2}

b_{1} = \frac{b}{2}

c_{1} = \frac{c}{2}

számokra

4 a_{1}^{3} + 2 b_{1}^{3} + c_{1}^{3} - 6 a_{1} b_{1} c_{1} = \frac{1}{8} (4 a^{3} + 2 b^{3} + c^{3} - 6 a b c) = 0

, viszont ez ellentmond annak, hogy

| a | + | b | + | c |

minimális.
Az eddigiek alapján tehát

\begin{matrix} \begin{matrix} 1 \leq | 4 a^{3} + 2 b^{3} + c^{3} - 6 a b c | = \\ = | \sqrt[3]{4} a + \sqrt[3]{2} b + c | \cdot (2 \sqrt[3]{2} a^{2} + \sqrt[3]{4} b^{2} + c^{2} - 2 a b - \sqrt[3]{2} b c - \sqrt[3]{4} c a) \leq \\ \leq | \sqrt[3]{4} a + \sqrt[3]{2} b + c | \cdot \frac{3}{2} (2 \sqrt[3]{2} a^{2} + \sqrt[3]{4} b^{2} + c^{2}) < | \sqrt[3]{4} a + \sqrt[3]{2} b + c | \cdot (4 a^{2} + 3 b^{2} + 2 c^{2}) . \end{matrix} \end{matrix}

Ebből az állítás egyszerű átrendezéssel adódik.

Pap Gyula (Debrecen, Fazekas M. Gimn., IV.o.t.) dolgozata nyomán

Megjegyzés. A megoldásban azt az erősebb állítást láttuk be, hogy

\begin{matrix} | \sqrt[3]{4} a + \sqrt[3]{2} b + c | > \frac{1}{3 \sqrt[3]{2} a^{2} + \frac{3}{2} \sqrt[3]{4} b^{2} + \frac{3}{2} c^{2}} . \end{matrix}

A jobb oldal nevezőjében szereplő konstansok élesek. Definiáljuk minden

n

pozitív egészre az

(a_{n}, b_{n}, c_{n})

számhármast a következőképpen:

\begin{matrix} \sqrt[3]{4} a_{n} + \sqrt[3]{2} b_{n} + c_{n} = {(\sqrt[3]{2} - 1)}^{n} . \end{matrix}

A fentiek alapján nem nehéz bebizonyítani, hogy

\begin{matrix} (\sqrt[3]{4} a_{n} + \sqrt[3]{2} b_{n} + c_{n}) \cdot (3 \sqrt[3]{2} a_{n}^{2} + \frac{3}{2} \sqrt[3]{4} b_{n}^{2} + \frac{3}{2} c_{n}^{2}) \to 1. \end{matrix}