|
Feladat: |
N.120 |
Korcsoport: 18- |
Nehézségi fok: nehéz |
Megoldó(k): |
Bérczi Gergely , Braun Gábor , Frenkel Péter , Gyenes Zoltán , Kun Gábor , Lippner Gábor , Lukács László , Nagy István , Pap Gyula , Szabó Jácint |
Füzet: |
1997/április,
231. oldal |
PDF file |
Témakör(ök): |
Oszthatósági feladatok, Számsorozatok, Konstruktív megoldási módszer, Nehéz feladat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1996/december: N.120 |
|
Jelöljük -nel azt, hogy egy pozitív egész hányféleképpen írható fel alakú számok összegeként (a tagok sorrendje nem számít) úgy, hogy egyik sem osztója a másiknak ( és nemnegatív egészek). Bizonyítsuk be, hogy nem korlátos.
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. A következőket fogjuk bebizonyítani:
(1) Van olyan , amelyre .
(2) Tetszőleges pozitív egészhez létezik olyan pozitív egész, amelyre . Ezekből az állítás következik. (1) bizonyításához elég egy példát mutatni, ilyen pl. vagy . (2) bizonyításához legyen olyan nagy pozitív egész, amelyre , és legyen . Azt állítjuk, hogy ez a szám megfelelő. Legyen két tetszőleges felbontása és ; választása miatt ezekben a tagokban a 2 és az 5 kitevője kisebb -nál. A két felbontásból elkészíthetjük egy felbontását úgy, hogy az egyik összeg tagjait -nal, a másikat -nal megszorozzuk: . Megmutatjuk, hogy az ilyen módon kapható felbontás mind különböző, és teljesíti azt a feltételt, hogy egyik tag sem osztója a másiknak. Mivel az -k, illetve a -k közül egyik sem osztója a másiknak, továbbá nem osztója -nek, és nem osztója -nek, felbontásában egyik tag sem osztója a másiknak. Az egyértelműség azért igaz, mert felbontásában a alakú tagok oszthatók -nal de -nal nem, illetve az alakú tagok oszthatók -nal de -nal nem; emiatt felbontása egyértelműen meghatározza, hogy melyik két felbontásából készült.
|
|