A következőket fogjuk bebizonyítani:

(1) Van olyan $n$, amelyre $f\left(n\right)\ge 2$.

(2) Tetszőleges  $n$  pozitív egészhez létezik olyan  $m$  pozitív egész, amelyre
$f\left(m\right)\ge {\left(f\left(n\right)\right)}^2$. Ezekből az állítás következik.
(1) bizonyításához elég egy példát mutatni, ilyen pl. $133=2^7+5=5^3+2^3$ vagy $129=5^3+2^2=5^2+5\cdot 2^3+2^6$.
(2) bizonyításához legyen $k$ olyan nagy pozitív egész, amelyre $2^k>n$, és legyen $m=2^{k}n+5^{k}n$. Azt állítjuk, hogy ez a szám megfelelő.
Legyen $n$ két tetszőleges felbontása $n=a_1+\text{...}+a_p$ és $n=b_1+\text{...}+b_q$; $k$ választása miatt ezekben a tagokban a 2 és az 5 kitevője kisebb $k$-nál.
A két felbontásból elkészíthetjük $m$ egy felbontását úgy, hogy az egyik összeg tagjait $2^k$-nal, a másikat $5^k$-nal megszorozzuk: $m=2^k{a}_1+\text{...}+2^k{a}_p+5^k{b}_1+\text{...}+5^k{b}_q$. Megmutatjuk, hogy az ilyen módon kapható ${\left(f\left(n\right)\right)}^2$ felbontás mind különböző, és teljesíti azt a feltételt, hogy egyik tag sem osztója a másiknak.
Mivel az $a_i$-k, illetve a $b_i$-k közül egyik sem osztója a másiknak, továbbá $2^k$ nem osztója $5^k{b}_i$-nek, és $5^k$ nem osztója $2^k{a}_i$-nek, $m$ felbontásában egyik tag sem osztója a másiknak.
Az egyértelműség azért igaz, mert $m$ felbontásában a $2^k{a}_i$ alakú tagok oszthatók $2^k$-nal de $5^k$-nal nem, illetve az $5^k{b}_i$ alakú tagok oszthatók $5^k$-nal de $2^k$-nal nem; emiatt $m$ felbontása egyértelműen meghatározza, hogy $n$ melyik két felbontásából készült.