Feladat: Gy.3027 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Balogh Attila ,  Bárány Kristóf ,  Barát Anna ,  Bérczi Gergely ,  Bosznay Tamás ,  Gueth Krisztián ,  Hangya Balázs ,  Juhász András ,  Katona Zsolt ,  Lengyel Tímea ,  Lippner Gábor ,  Méder Áron ,  Molnár-Sáska Balázs ,  Nyul Gábor ,  Páles Csaba ,  Poronyi Gábor ,  Prohászka Benedek ,  Repcsényi Attila ,  Salamon Éva ,  Sipos András ,  Somogyi Gábor ,  Szalai-Dobos András ,  Terék Zsolt ,  Terpai Tamás ,  Tóth Péter ,  Tótin Ágnes ,  Vaik István ,  Vaik Zsuzsanna ,  Vitéz Gábor ,  Zubcsek Péter Pál 
Füzet: 1996/október, 410 - 411. oldal  PDF file
Témakör(ök): Vektorok, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1995/december: Gy.3027

A pozitív körüljárású A1B1C1 szabályos háromszöget súlypontja körül +23-kal elforgatjuk, majd a súlypontjából 52-szeresére nagyítjuk. Így kapjuk az A2B2C2 szabályos háromszöget. Mutassuk meg, hogy van olyan P pont, amelyre a PA1A2 is és a PB2C1 is szabályos.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A feladatot vektorok segítségével oldjuk meg. Jelöljük az A1B1C1 háromszög súlypontját O-val, az OA1 vektort a-val, az OA2 vektort pedig b-vel. Tetszőleges v vektor esetén jelölje v' a v vektor +120-os elforgatásával kapott vektort. Mivel az A1B1C1 és A2B2C2 is O középpontú szabályos háromszögek, ezért

OB1=a',OC1=(a')'=a'',OB2=b'ésOC2=b''.
A 120-os forgatás tulajdonságaiból következik, hogy
*(i) minden v és w vektor, valamint λ valós szám esetén: (v+λw)'=v'+λw';
*(ii) egy DEF háromszög pontosan akkor szabályos és pozitív körüljárású, ha (DE)'=EF;
*(iii) minden v vektor esetén v+v'+v''=0.

Ezen állításokat az olvasó ‐ az 1‐3. ábrák segítségével ‐ könnyen beláthatja.
Legyen P az a pont, amelyre az A1A2P háromszög szabályos és pozitív körüljárású. Megmutatjuk, hogy ekkor a PB2C1 háromszög is ilyen.
(ii) alapján a P pont definíciójából következik, hogy OP=OA2+A2P=b+(A1A2)'=b+(b-a)'. Vagyis (i)-t felhasználva: OP=b+b'-a'. Állításunk igazolásához elegendő belátnunk, hogy (C1P)'=PB2. Tudjuk, hogy C1P=OP-OC1=(b+b'-a')-a'', és PB2=OB2-OP=b'-(b+b'-a'), tehát elegendő megmutatnunk, hogy
b'+b''-a''-a'''=-b+a',
vagy ami ezzel ekvivalens:
b+b'+b''=(a+a'+a'')'.
Ez viszont igaz, mert (iii) szerint mindkét oldalon a 0 áll.
Ezzel a feladat állítását beláttuk.
 
Megjegyzés. A megoldás során nem használtuk ki, hogy az A1B1C1 háromszöget a súlypontja körül hány fokkal forgattuk el és milyen arányban nagyítottuk. Feladatunk állítása tetszőleges szögű elforgatás és tetszőleges arányú nagyítás esetén is igaz.
 Bérczi Gergely (Szeged, Ságvári E. Gyak. Gimn., II. o.t.) dolgozata alapján.