Kezdőlap


Feladat:	Gy.3027	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Balogh Attila , Bárány Kristóf , Barát Anna , Bérczi Gergely , Bosznay Tamás , Gueth Krisztián , Hangya Balázs , Juhász András , Katona Zsolt , Lengyel Tímea , Lippner Gábor , Méder Áron , Molnár-Sáska Balázs , Nyul Gábor , Páles Csaba , Poronyi Gábor , Prohászka Benedek , Repcsényi Attila , Salamon Éva , Sipos András , Somogyi Gábor , Szalai-Dobos András , Terék Zsolt , Terpai Tamás , Tóth Péter , Tótin Ágnes , Vaik István , Vaik Zsuzsanna , Vitéz Gábor , Zubcsek Péter Pál
Füzet:	1996/október, 410 - 411. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Vektorok, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1995/december: Gy.3027

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A feladatot vektorok segítségével oldjuk meg. Jelöljük az $A_{1} B_{1} C_{1}$ háromszög súlypontját $O$ -val, az $\vec{O A_{1}}$ vektort $a$ -val, az $\vec{O A_{2}}$ vektort pedig $b$ -vel. Tetszőleges $v$ vektor esetén jelölje $v'$ a $v$ vektor $+ 120^{\circ}$ -os elforgatásával kapott vektort. Mivel az $A_{1} B_{1} C_{1}$ és $A_{2} B_{2} C_{2}$ is $O$ középpontú szabályos háromszögek, ezért

\begin{matrix} \vec{O B_{1}} = a', \vec{O C_{1}} = (a')' = a'', \vec{O B_{2}} = b' és \vec{O C_{2}} = b'' . \end{matrix}

120^{\circ}

-os forgatás tulajdonságaiból következik, hogy

*	(i) minden $v$ és $w$ vektor, valamint $λ$ valós szám esetén: $(v + λ w)' = v' + λ w'$ ;

*	(ii) egy $D E F$ háromszög pontosan akkor szabályos és pozitív körüljárású, ha $(\vec{D E})' = \vec{E F}$ ;

*	(iii) minden $v$ vektor esetén $v + v' + v'' = 0$ .

Ezen állításokat az olvasó ‐ az 1‐3. ábrák segítségével ‐ könnyen beláthatja.
Legyen

P

az a pont, amelyre az

A_{1} A_{2} P

háromszög szabályos és pozitív körüljárású. Megmutatjuk, hogy ekkor a

P B_{2} C_{1}

háromszög is ilyen.
(ii) alapján a

P

pont definíciójából következik, hogy

\vec{O P} = \vec{O A_{2}} + \vec{A_{2} P} = b + (\vec{A_{1} A_{2}})' = b + (b - a)'

. Vagyis (i)-t felhasználva:

\vec{O P} = b + b' - a'

. Állításunk igazolásához elegendő belátnunk, hogy

(\vec{C_{1} P})' = \vec{P B_{2}}

. Tudjuk, hogy

\vec{C_{1} P} = \vec{O P} - \vec{O C_{1}} = (b + b' - a') - a''

, és

\vec{P B_{2}} = \vec{O B_{2}} - \vec{O P} = b' - (b + b' - a')

, tehát elegendő megmutatnunk, hogy

\begin{matrix} b' + b'' - a'' - a''' = - b + a', \end{matrix}

vagy ami ezzel ekvivalens:

\begin{matrix} b + b' + b'' = (a + a' + a'')' . \end{matrix}

Ez viszont igaz, mert (iii) szerint mindkét oldalon a

0

áll.
Ezzel a feladat állítását beláttuk.

Megjegyzés. A megoldás során nem használtuk ki, hogy az

A_{1} B_{1} C_{1}

háromszöget a súlypontja körül hány fokkal forgattuk el és milyen arányban nagyítottuk. Feladatunk állítása tetszőleges szögű elforgatás és tetszőleges arányú nagyítás esetén is igaz.

Bérczi Gergely (Szeged, Ságvári E. Gyak. Gimn., II. o.t.) dolgozata alapján.