Feladat: Gy.2985 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Burcsi Péter ,  Formanek Csaba ,  Frenkel Péter ,  Juhász András ,  Katona Zsolt ,  Lippner Gábor ,  Nyul Gábor ,  Pogány Ádám ,  Reviczky Ágnes ,  Rozmán András ,  Szabó Gábor ,  Szabó Jácint ,  Szilágyi Judit ,  Tóth Gábor Zsolt ,  Véber Miklós ,  Vörös Zoltán 
Füzet: 1996/március, 151 - 152. oldal  PDF file
Témakör(ök): Binomiális együtthatók, Oszthatóság, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1995/április: Gy.2985

Legyen az n négyzetmentes pozitív egész (vagyis az 1-en kívül nincs négyzetszám osztója). Bizonyítsuk be, hogy nem létezik olyan (x,y) egészekből álló számpár, amelyre x, y relatív prímek és (x+y)3xn+yn.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Sajnos kimaradt a feladat szövegéből az a feltétel, hogy x és y pozitív számok. Enélkül elég könnyű az állítást cáfolni: az x=-6, y=7 választással például

(x+y)3xn+yn
teljesül. Aki egy ilyen ellenpéldát beküldött, természetesen a maximális pontszámot kapta. Sokan viszont megoldották magát az ,,eredeti'' feladatot is; és a továbbiakban mi is erre közlünk egy bizonyítást.
Vezessük be az x+y=k, y=l jelölést. Mivel x és y relatív prímek, így k és l is azok. Vizsgáljuk meg, fennállhat-e a
k3(k-l)n+ln
reláció.
Legyen először n páros. A binomiális tétel szerint (k-l)n+ln=kn-nkn-1l+...-nkln-1+ln+ln, ez akkor osztható k-val, ha 2ln is osztható vele. Viszont (k,l)=1 miatt ez csak úgy lehet, ha k2. Azonban k=x+y1+1=2 (felhasználva a pozitivitást), vagyis szükségképpen x=y=1. Beírva ezt az oszthatóságba:
231n+1n=2,
ami nem teljesül. A páros esetben tehát igaz az állítás.
Legyen ezután n páratlan. Ismét a binomiális tételt használva,
(k-l)n+ln=kn-nkn-1l+...-n(n-1)2k2ln-2+nkln-1-ln+ln==k3M+nkln-2(-n-12k+l).
Ez akkor osztható k3-nel, ha nln-2(-n-12k+l) osztható k2-nel. Mivel (k,l)=1, azért k és ln-2(-n-12k+l) is relatív prímek, tehát szükségképpen k2n. Ez viszont k2 miatt ellentmond n négyzetmentességének. Ezzel az állítást minden esetben igazoltuk.
 Rozmán András (Szombathely, Nagy Lajos Gimn., III. o.t.) dolgozata alapján