Kezdőlap


Feladat:	Gy.2985	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Burcsi Péter , Formanek Csaba , Frenkel Péter , Juhász András , Katona Zsolt , Lippner Gábor , Nyul Gábor , Pogány Ádám , Reviczky Ágnes , Rozmán András , Szabó Gábor , Szabó Jácint , Szilágyi Judit , Tóth Gábor Zsolt , Véber Miklós , Vörös Zoltán
Füzet:	1996/március, 151 - 152. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Binomiális együtthatók, Oszthatóság, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1995/április: Gy.2985

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Sajnos kimaradt a feladat szövegéből az a feltétel, hogy $x$ és $y$ pozitív számok. Enélkül elég könnyű az állítást cáfolni: az $x = - 6$ , $y = 7$ választással például

\begin{matrix} {(x + y)}^{3} ∣ x^{n} + y^{n} \end{matrix}

teljesül. Aki egy ilyen ellenpéldát beküldött, természetesen a maximális pontszámot kapta. Sokan viszont megoldották magát az ,,eredeti'' feladatot is; és a továbbiakban mi is erre közlünk egy bizonyítást.
Vezessük be az

x + y = k

y = l

jelölést. Mivel

x

és

y

relatív prímek, így

k

és

l

is azok. Vizsgáljuk meg, fennállhat-e a

\begin{matrix} k^{3} ∣ {(k - l)}^{n} + l^{n} \end{matrix}

reláció.
Legyen először

n

páros. A binomiális tétel szerint

{(k - l)}^{n} + l^{n} = k^{n} - n k^{n - 1} l + ... - n k l^{n - 1} + l^{n} + l^{n}

, ez akkor osztható

k

-val, ha

2 \cdot l^{n}

is osztható vele. Viszont

(k, l) = 1

miatt ez csak úgy lehet, ha

k ∣ 2

. Azonban

k = x + y \geq 1 + 1 = 2

(felhasználva a pozitivitást), vagyis szükségképpen

x = y = 1

. Beírva ezt az oszthatóságba:

\begin{matrix} 2^{3} ∣ 1^{n} + 1^{n} = 2, \end{matrix}

ami nem teljesül. A páros esetben tehát igaz az állítás.
Legyen ezután

n

páratlan. Ismét a binomiális tételt használva,

\begin{matrix} \begin{matrix} {(k - l)}^{n} + l^{n} = k^{n} - n k^{n - 1} l + ... - \frac{n (n - 1)}{2} k^{2} l^{n - 2} + n k l^{n - 1} - l^{n} + l^{n} = \\ = k^{3} \cdot M + n k l^{n - 2} (- \frac{n - 1}{2} k + l) . \end{matrix} \end{matrix}

Ez akkor osztható

k^{3}

-nel, ha

n l^{n - 2} (- \frac{n - 1}{2} k + l)

osztható

k^{2}

-nel. Mivel

(k, l) = 1

, azért

k

és

l^{n - 2} (- \frac{n - 1}{2} k + l)

is relatív prímek, tehát szükségképpen

k^{2} ∣ n

. Ez viszont

k \geq 2

miatt ellentmond

n

négyzetmentességének. Ezzel az állítást minden esetben igazoltuk.

Rozmán András (Szombathely, Nagy Lajos Gimn., III. o.t.) dolgozata alapján