Feladat: F.3061 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Bámer Balázs ,  Becker Johanna ,  Braun Gábor ,  Elek Péter ,  Erdélyi László ,  Farkas Illés ,  Frenkel Péter ,  Gerő Tamás Miklós ,  Németh Balázs ,  Pap Júlia ,  Puskás Zsolt ,  Szabó Dénes ,  Szádeczky-Kardoss Szabolcs ,  Tóth Gábor Zsolt ,  Ugron Balázs ,  Visontai Mirkó 
Füzet: 1996/január, 29 - 30. oldal  PDF file
Témakör(ök): Középponti és kerületi szögek, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1995/március: F.3061

Legyen két egymást metsző kör k1 és k2, az egyik közös pontjukat jelölje A. A két kör egyik közös érintője k1-et P-ben, k2-t Q-ban, a másik közös érintő k1-et R-ben, k2-t S-ben érinti. Bizonyítsuk be, hogy a PAQ és RAS háromszögek körülírt körei érintik egymást.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

 
1. megoldás. Az 1. ábrán O1 és O2 a k1, ill. k2 kör középpontja. Az ARS=α a k1 körben az RA ívhez tartozó érintő szárú kerületi szög, ezért RO1A=2α. Hasonlóan látjuk, hogy AO1P=2β, és így RO1P=2(α+β). Az RO1P és SO2Q egyállású szögek, amiért SO2Q=2(α+β). Tehát az SO2Q középponti szöghöz tartozó SAQ kerületi szög α+β. Ezért az A ponton átmenő e egyenest meghúzhattuk úgy, hogy AS-sel α, AQ-val β szöget zárjon be. Ezek a szögek az ARS, ill. APQ háromszög köré írt körében az AS, ill. AQ ívhez tartozó érintő szárú kerületi szögek, az e egyenes tehát mindkét kört érinti. De akkor a két kör érinti egymást (az A pontban).
(Az e1e2 esetben a feladat állítása triviális.)
 Ugron Balázs, (Veszprém, Lovassy L. Gimn., III. o.t.)

 
2. megoldás. Tekintsük azt az inverziót, amelynek alapköre átmegy A-n, pólusa pedig a k1 és k2 másik metszéspontja, B. A k1 és k2 körök képe ekkor az f1 és f2 egyenes (2. ábra), amelyek A-ban metszik egymást. Az e1 és e2 érintők képe az m1, ill m2 kör, amelyeknek B közös pontja, és mindkét kör érinti f1-et és f2-t is. A PAQ, ill. RAS háromszögek körülírt köreinek inverze a P'AQ' és az R'AS' pontokon átmenő kör. Ezek szimmetrikusak az f1 és f2 (egyik) szögfelezőjére. Ezért ez a két kör A-ban érinti egymást, tehát az eredeti körök is érintik egymást.