Feladat: Pontversenyen kívüli P.174 Korcsoport: 18- Nehézségi fok: -
Megoldó(k):  Biró Balázs ,  Kiss Emil ,  Kollár János ,  Lelkes András ,  Lévai Miklós ,  Meszéna Géza 
Füzet: 1974/május, 216 - 217. oldal  PDF file
Témakör(ök): Valós számok és tulajdonságaik, Racionális számok és tulajdonságaik, Különleges függvények, Függvényegyenletek, Pontversenyen kívüli probléma
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1973/április: Pontversenyen kívüli P.174

Adjuk meg mindazokat az f(x) valós függvényeket, amelyek kielégítik a következő feltételeket:
a) található olyan véges intervallum, amelyben f(x) korlátos,
b) minden x1, x2 értékpárra
f(x1+x2)=f(x1)+f(x2),
c) f(1)=1.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Tegyük fel, hogy f(x) függvény kielégíti a feladat feltételeit. Ekkor bármely k egész számra

f(kx)=kf(x),(1)
hiszen a b) feltételt az x, nx (n természetes szám) párokra felírva adódik, hogy f((n+1)x)=f(x)+f(nx), amiből teljes indukcióval következik, hogy f(nx)=nf(x).
Könnyű belátni, hogy f(0)=0. Alkalmazzuk b)-t az x1 és x2=0 számokra: f(x1+0)=f(x1)+f(0), innen f(0)=0 adódik. Ennek ismeretében a b) feltételt az nx és -nx számokra alkalmazva kapjuk, hogy f(-nx)=-nf(x).
Ha r racionális szám: r=km, ahol k, m egészek és m0, akkor (1)-et kétszer alkalmazva
kf(x)=f(kx)=f(m(kmx))=mf(kmx),
amiből m-mel való osztással
f(rx)=rf(x).(2)

Ebből a c) feltétel alapján minden racionális helyen
f(r)=r.(3)

Az a) feltétel kihasználásával megmutatjuk, hogy (3) az irracionális számokra is fennáll Tegyük feI, hogy f(x) korlátos az (a,b) intervallumban és legyen x0 irracionális szám. Ekkor bármely r racionális számhoz található olyan t valós szám, hogy tr az (a,b) intervallumba esik, és hogy rx0+tr racionális. Így a (3), a b) és (2) alapján
rx0+tr=f(rx0+tr)=f(rx0)+f(tr)=rf(x0)+f(tr),
amiből
tr-f(tr)=r(f(x0)-x0).

Mivel itt r tetszőlegesen nagy racionális szám lehet, és a bal oldalon álló mennyiség korlátos, ez csak úgy lehet igaz, ha f(x0)=x0, tehát a feladat feltételeit csak az f(x)=x függvény elégíti ki.
 

Megjegyzések. 1. Megoldásunkból az is kiolvasható, hogy a korlátosság helyettesíthető felülről vagy alulról való korlátossággal is.
2. Megmutatható, hogy ha az a) feltételt elhagyjuk, akkor van az f(x)=x függvénytől különböző megoldás is.*

*Matematikai Lapok, feladatrovat 166. feladat. Megoldása a 20. évfolyam (1969) 415. oldalán