Kezdőlap


Feladat:	Pontversenyen kívüli P.174	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: -
Megoldó(k):	Biró Balázs , Kiss Emil , Kollár János , Lelkes András , Lévai Miklós , Meszéna Géza
Füzet:	1974/május, 216 - 217. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Valós számok és tulajdonságaik, Racionális számok és tulajdonságaik, Különleges függvények, Függvényegyenletek, Pontversenyen kívüli probléma
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1973/április: Pontversenyen kívüli P.174

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Tegyük fel, hogy $f (x)$ függvény kielégíti a feladat feltételeit. Ekkor bármely $k$ egész számra

\begin{matrix} f (k \cdot x) = k \cdot f (x), \end{matrix}

(1)

hiszen a b) feltételt az

x

n \cdot x

(

n

természetes szám) párokra felírva adódik, hogy

f ((n + 1) \cdot x) = f (x) + f (n \cdot x)

, amiből teljes indukcióval következik, hogy

f (n \cdot x) = n \cdot f (x)

.
Könnyű belátni, hogy

f (0) = 0

. Alkalmazzuk b)-t az

x_{1}

és

x_{2} = 0

számokra:

f (x_{1} + 0) = f (x_{1}) + f (0)

, innen

f (0) = 0

adódik. Ennek ismeretében a b) feltételt az

n \cdot x

és

- n \cdot x

számokra alkalmazva kapjuk, hogy

f (- n \cdot x) = - n \cdot f (x)

.
Ha

r

racionális szám:

r = \frac{k}{m}

, ahol

k

m

egészek és

m \neq 0

, akkor (1)-et kétszer alkalmazva

\begin{matrix} k \cdot f (x) = f (k \cdot x) = f (m \cdot (\frac{k}{m} x)) = m \cdot f (\frac{k}{m} x), \end{matrix}

amiből

m

-mel való osztással

\begin{matrix} f (r \cdot x) = r \cdot f (x) . \end{matrix}

(2)

Ebből a c) feltétel alapján minden racionális helyen

\begin{matrix} f (r) = r . \end{matrix}

(3)

Az a) feltétel kihasználásával megmutatjuk, hogy (3) az irracionális számokra is fennáll Tegyük feI, hogy

f (x)

korlátos az

(a, b)

intervallumban és legyen

x_{0}

irracionális szám. Ekkor bármely

r

racionális számhoz található olyan

t

valós szám, hogy

t r

(a, b)

intervallumba esik, és hogy

r x_{0} + t r

racionális. Így a (3), a b) és (2) alapján

\begin{matrix} r x_{0} + t r = f (r x_{0} + t r) = f (r x_{0}) + f (t r) = r f (x_{0}) + f (t r), \end{matrix}

amiből

\begin{matrix} t r - f (t r) = r (f (x_{0}) - x_{0}) . \end{matrix}

Mivel itt

r

tetszőlegesen nagy racionális szám lehet, és a bal oldalon álló mennyiség korlátos, ez csak úgy lehet igaz, ha

f (x_{0}) = x_{0}

, tehát a feladat feltételeit csak az

f (x) = x

függvény elégíti ki.

Megjegyzések. 1. Megoldásunkból az is kiolvasható, hogy a korlátosság helyettesíthető felülről vagy alulról való korlátossággal is.
2. Megmutatható, hogy ha az a) feltételt elhagyjuk, akkor van az

f (x) = x

függvénytől különböző megoldás is.^{$^{*}$}

^{$^{*}$}Matematikai Lapok, feladatrovat 166. feladat. Megoldása a 20. évfolyam (1969) 415. oldalán