Feladat: Gy.2796 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Csekő Lehel ,  Gincsai Tibor ,  Kozma Róbert ,  Nagy Katalin ,  Nyakas Péter ,  Újváry-Menyhárt Mónika 
Füzet: 1993/március, 120 - 121. oldal  PDF file
Témakör(ök): Háromszögek hasonlósága, Geometriai egyenlőtlenségek, Derékszögű háromszögek geometriája, Szögfelező egyenes, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1992/október: Gy.2796

Az ABC derékszögű háromszögben jelölje m a C derékszögű csúcsból húzott magasság hosszát, D pedig a C-ből induló szögfelező talppontját. Igazoljuk, hogy ha CA<CB, akkor AD<m<DB.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. A szögfelezőtétel szerint

AD=CACA+CBAB(1)


és
DB=CBCA+CBAB.

 
 

1. ábra
 

 
 

2. ábra
 


Írjuk fel kétféleképpen az ABC háromszög területét:
TABC=ABm2=CACB2,
tehát

m=CACBAB.(2)




Először megmutatjuk, hogy AD<m. (1) és (2) szerint
AD<mCABACA+CB<CACBAB,
azaz
AB2-CB2<CACB,

ez pedig Pitagorasz tétele (AB2=CA2+CB2) miatt ekvivalens a CA2<CACB, vagyis a CA<CB egyenlőtlenséggel.
Ugyanúgy láthatjuk be azt is, hogy m<DB.
 

II. megoldás. Jelöljük a háromszög C-ből induló magasságának talppontját T-vel. Mivel CB>CA, ezért CAB>CBA. Nyilvánvaló, hogy BCT=CAB és ACT=CBA, ezért BCT>ACT, tehát AD>AT. A D pontban az AB átfogóra állított merőleges a BC és AC oldalegyeneseket a P és Q pontokban metszi az ábrának megfelelően.
A szögfelezőtétel szerint BDAD=BCCA. Az ABC háromszög hasonló a PBD és az AQD háromszögekhez, hiszen szögeik megegyeznek; tehát
DBAD=BCCA=DBDP=DQAD.

Innen AD=DP és DB=DQ adódik.
Figyelembe véve, hogy DP<m<DQ, kapjuk, hogy AD<m<DB, és ezt kellett bizonyítanunk.
 

 Gincsai Tibor (Nyíregyháza 1.sz. Benczur Gyula Ált. Isk. 8. o. t.)
 dolgozata alapján