Feladat: Gy.2790 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):  Székelyhidi László 
Füzet: 1993/február, 74 - 75. oldal  PDF file
Témakör(ök): Számtani-mértani egyenlőtlenségek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1992/október: Gy.2790

Az a,b,c,d pozitív számok szorzata 1. Bizonyítsuk be, hogy
a2+b2+c2+d2+ab+ac+ad+bc+bd+cd10
teljesül.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az a, b, c, d számok pozitívak, így a belőlük képzett kéttényezős szorzatok is azok. Az egyenlőtlenség bal oldalán alkalmazható tehát a számtani és mértani közép közti egyenlőtlenség:

a2+b2+c2+d2+ab+ac+ad+bc+bd+cd10a2b2c2d2abacadbcbdcd10==a5b5c5d510=1,
vagyis
a2+b2+c2+d2+ab+ac+ad+bc+bd+cd10,
és éppen ezt kellett bizonyítanunk. Egyenlőség a=b=c=d=1 esetén.
 

 Székelyhidi László (Debrecen, Tóth Árpád Gimn., II. o. t.) dolgozata alapján