Kezdőlap


Feladat:	Gy.2790	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Székelyhidi László
Füzet:	1993/február, 74 - 75. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Számtani-mértani egyenlőtlenségek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1992/október: Gy.2790

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az $a$ , $b$ , $c$ , $d$ számok pozitívak, így a belőlük képzett kéttényezős szorzatok is azok. Az egyenlőtlenség bal oldalán alkalmazható tehát a számtani és mértani közép közti egyenlőtlenség:

\begin{matrix} \begin{matrix} \frac{a^{2} + b^{2} + c^{2} + d^{2} + a b + a c + a d + b c + b d + c d}{10} & ⩾ \sqrt[10]{a^{2} b^{2} c^{2} d^{2} a b a c a d b c b d c d} = \\ = \sqrt[10]{a^{5} b^{5} c^{5} d^{5}} = 1, \end{matrix} \end{matrix}

vagyis

\begin{matrix} a^{2} + b^{2} + c^{2} + d^{2} + a b + a c + a d + b c + b d + c d ⩾ 10, \end{matrix}

és éppen ezt kellett bizonyítanunk. Egyenlőség

a = b = c = d = 1

esetén.

Székelyhidi László (Debrecen, Tóth Árpád Gimn., II. o. t.) dolgozata alapján