Feladat: Gy.2694 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):  Dőtsch András ,  Imreh Csanád ,  Miskolczi Katalin ,  Pintér Szilárd ,  Szép János ,  Vásárhelyi Tamás ,  Zámborszky Ferenc 
Füzet: 1991/november, 395 - 396. oldal  PDF file
Témakör(ök): Algebrai átalakítások, Számelmélet alaptétele, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1991/április: Gy.2694

Bizonyítsuk be, hogy ha n 11-nél nagyobb egész szám, akkor
n2-19n+89
nem négyzetszám.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Vegyük észre, hogy

n2-19n+89=(n-10)2+n-11,
illetve
n2-19n+89=(n-9)2+8-n.
Ez azt jelenti, hogy ha n>11, akkor
(n-10)2<n2-19n+89<(n-9)2,
ahonnan következik a bizonyítandó állítás, hiszen két szomszédos egész szám, n-10 és n-9 négyzete közé nem esik négyzetszám.
 

II. megoldás. Tegyük fel, hogy valamilyen m egész számra
n2-19n+89=m2.(1)

Szorozzuk meg (1) mindkét oldalát 4-gyel, így a bal oldalt teljes négyzetté alakíthatjuk:
4n2-419n+489=(2n-19)2-5.

Ezután (1)-ben rendezés után két négyzet különbségét kapjuk, szorzattá alakítva:
(2n-19)2-(2m)2=(2n-2m-19)(2n+2m-19)=5.(2)

A jobb oldalon álló 5 az egész számok körében a tényezők sorrendjét is figyelembe véve ‐ négyféleképpen alakítható szorzattá. A tényezők összege a bal oldal szerint 4n-38, és ez egyenlő 15, illetve (-1)(-5) alapján 6-tal, vagy (-6)-tal.
Az első esetben n=11 és így n2-19n+89=1, a másodikban pedig n=8, és ekkor n2-19n+89=1.
A feladatban szereplő kifejezés tehát az n-nek összesen két egész értéke, n=8 és n=11 esetén négyzetszám, amiből a feladat állítása természetesen következik.
 

Megjegyzés. Ha a mesterkéltnek tűnő 4-gyel való szorzás helyett az n-ben másodfokú n2-19n+89-m2 polinom diszkriminánsát írjuk fel ‐ ha (1)-nek létezik egész (n,m) megoldása, akkor ennek négyzetszámnak kell lennie ‐ akkor ugyancsak eljuthatunk a (2) szorzat alakhoz.