A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás. Vegyük észre, hogy
illetve Ez azt jelenti, hogy ha , akkor
| | ahonnan következik a bizonyítandó állítás, hiszen két szomszédos egész szám, és négyzete közé nem esik négyzetszám.
II. megoldás. Tegyük fel, hogy valamilyen egész számra
Szorozzuk meg (1) mindkét oldalát -gyel, így a bal oldalt teljes négyzetté alakíthatjuk:
| |
Ezután (1)-ben rendezés után két négyzet különbségét kapjuk, szorzattá alakítva:
| | (2) |
A jobb oldalon álló az egész számok körében a tényezők sorrendjét is figyelembe véve ‐ négyféleképpen alakítható szorzattá. A tényezők összege a bal oldal szerint , és ez egyenlő , illetve alapján -tal, vagy -tal. Az első esetben és így , a másodikban pedig , és ekkor . A feladatban szereplő kifejezés tehát az -nek összesen két egész értéke, és esetén négyzetszám, amiből a feladat állítása természetesen következik. Megjegyzés. Ha a mesterkéltnek tűnő -gyel való szorzás helyett az -ben másodfokú polinom diszkriminánsát írjuk fel ‐ ha (1)-nek létezik egész () megoldása, akkor ennek négyzetszámnak kell lennie ‐ akkor ugyancsak eljuthatunk a (2) szorzat alakhoz. |
|