Feladat: Gy.2640 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Papp Zsombor 
Füzet: 1991/április, 160. oldal  PDF file
Témakör(ök): Oszthatóság, Tizes alapú számrendszer, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1990/szeptember: Gy.2640

Legyen A egy egész szám, melyre 100<A<1000. Vonjuk ki az A-ból a számjegyeinek összegét, a kapott számra ismételjük meg a fenti eljárást, és így tovább. Bizonyítsuk be, hogy az így kapott számok között előfordul a 63.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Ismeretes, hogy egy tizes számrendszerben felírt szám ugyanolyan maradékot ad 9-cel osztva, mint a számjegyeinek az összege. Így az első lépés után ‐ amikor A-ból levonjuk a jegyeinek összegét ‐ 9-cel osztható számot kapunk. Mivel ettől kezdve minden egyes lépésben 9 egy pozitív többszörösével csökkentünk egy 9-cel osztható számot, a további számok már valamennyien oszthatók 9-cel.
Vegyük szemügyre a 9-nek a 100-nál kisebb többszöröseit. Ezek legnagyobbikában, a 99-ben 18 a jegyek összege, a továbbiakban pedig 9. Tekintsük most a feladatban leírt számhalmaz első 100-nál kisebb elemét. Ilyen van, hiszen minden egyes lépésben legalább 9-cel csökken a szám. Ez nyilván nagyobb lesz 63-nál, hiszen a legkisebb olyan 9-cel osztható szám, amelyet 63-hoz adva legalább 100-at kapunk, a 36, egy háromjegyű szám jegyeinek az összege viszont legfeljebb 27.
Ha most ez a legkisebb, 100-nál kisebb szám a 99, akkor ezután 72, majd 63 következik, ha pedig 99-nél kisebb ‐ de, mint láttuk nagyobb 63-nál, akkor ezután "9-esével haladunk lefelé'', és így feltétlenül eljutunk 63-ig.

 

Papp Zsombor (Zalaegerszeg, Zrínyi Miklós Gimnázium, II. o. t.)

 

Megjegyzés. Gyorsabban érünk célt, ha meggondoljuk, hogy a 999-nél kisebb, 9-cel osztható számok jegyeinek összege legfeljebb 18. Igy bármely két, 100-nál kisebb, szomszédos, 9-cel osztható szám közül legalább az egyik szerepel a sorozatban. Így van ez a 72 és a 63 számokkal is. Ha a 63 szerepel, készen vagyunk, ha pedig a 72, akkor a következő lépésben megkapjuk a 63-at.