Feladat: Gy.2619 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Imreh Csanád ,  Szendrei Tamás ,  Szűts Dávid 
Füzet: 1991/március, 108 - 109. oldal  PDF file
Témakör(ök): Ceva-tétel, Indirekt bizonyítási mód, Kombinatorikus geometria síkban, Kombinatorikai leszámolási problémák, Oszthatóság, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1990/március: Gy.2619

Legyen p páratlan prímszám. Osszuk egy háromszög mindegyik oldalát p egyenlő részre, majd húzzuk meg a háromszög belsejében azokat a szakaszokat, amelyek a háromszög csúcsait a szemközti oldal osztópontjaival kötik össze. Bizonyítsuk be, hogy a szakaszoknak a háromszög belsejében 3(p-1)2 metszéspontja van.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Minden szakasz metszi a másik két csúcsból kiinduló 2(p-1) darab szakaszt, vagyis minden szakaszon legfeljebb 2(p-1) darab metszéspont van (1. ábra). Összesen 3(p-1) darab szakasz van, és minden metszéspont legalább két szakaszon van rajta, ezért az összes metszéspontok száma legfeljebb 2(p-1)3(p-1)2=3(p-1)2, és pontosan akkor ennyi, ha semelyik három szakasz nem megy át egy ponton.

 
 

1. ábra
 

 
 

2. ábra
 

Tegyük fel, hogy van három, egy ponton átmenő szakasz, mégpedig a 2. ábra szerint az A csúcstól számított k-adik Ck, a B csúcstól számított l-edik Al és a C csúcstól számított m-edik Bm osztópontot a szemközti csúccsal összekötő szakaszok. Ekkor Ceva tétele szerint (lásd pl. Geometriai feladatok gyűjteménye I., 1263. feladat):
ACkCkBBAlAlCCBmBmA=1,
vagyis:
kp-klp-lmp-m=1.

Ezt rendezve kapjuk, hogy:
2klm=p[p2-p(k+l+m)+kl+lm+mk].

A bal oldalon álló 2,k,l,m számok mindegyike kisebb p-nél, ezért szorzatuk nem lehet a p prímszámmal osztható, tehát ez az egyenlőség nem állhat fenn. Ezért feltevésünk hibás, vagyis a szakaszok között nincs három egy ponton átmenő. A háromszög belsejében lévő metszéspontok száma így valóban 3(p-1)2.
 

 Szüts Dávid (Bp., Fazekas M. Gyak. Gimn., II. o. t.) dolgozata alapján