A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Megoldás. Minden szakasz metszi a másik két csúcsból kiinduló darab szakaszt, vagyis minden szakaszon legfeljebb darab metszéspont van (1. ábra). Összesen darab szakasz van, és minden metszéspont legalább két szakaszon van rajta, ezért az összes metszéspontok száma legfeljebb , és pontosan akkor ennyi, ha semelyik három szakasz nem megy át egy ponton.
1. ábra
2. ábra Tegyük fel, hogy van három, egy ponton átmenő szakasz, mégpedig a 2. ábra szerint az csúcstól számított -adik , a csúcstól számított -edik és a csúcstól számított -edik osztópontot a szemközti csúccsal összekötő szakaszok. Ekkor Ceva tétele szerint (lásd pl. Geometriai feladatok gyűjteménye I., 1263. feladat): vagyis: Ezt rendezve kapjuk, hogy: | |
A bal oldalon álló számok mindegyike kisebb -nél, ezért szorzatuk nem lehet a prímszámmal osztható, tehát ez az egyenlőség nem állhat fenn. Ezért feltevésünk hibás, vagyis a szakaszok között nincs három egy ponton átmenő. A háromszög belsejében lévő metszéspontok száma így valóban .
Szüts Dávid (Bp., Fazekas M. Gyak. Gimn., II. o. t.) dolgozata alapján |