Kezdőlap


Feladat:	Gy.2619	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Imreh Csanád , Szendrei Tamás , Szűts Dávid
Füzet:	1991/március, 108 - 109. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Ceva-tétel, Indirekt bizonyítási mód, Kombinatorikus geometria síkban, Kombinatorikai leszámolási problémák, Oszthatóság, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1990/március: Gy.2619

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Minden szakasz metszi a másik két csúcsból kiinduló $2 (p - 1)$ darab szakaszt, vagyis minden szakaszon legfeljebb $2 (p - 1)$ darab metszéspont van (1. ábra). Összesen $3 (p - 1)$ darab szakasz van, és minden metszéspont legalább két szakaszon van rajta, ezért az összes metszéspontok száma legfeljebb $\frac{2 (p - 1) \cdot 3 (p - 1)}{2} = 3 {(p - 1)}^{2}$ , és pontosan akkor ennyi, ha semelyik három szakasz nem megy át egy ponton.

1. ábra

2. ábra

Tegyük fel, hogy van három, egy ponton átmenő szakasz, mégpedig a 2. ábra szerint az

A

csúcstól számított

k

-adik

C_{k}

, a

B

csúcstól számított

l

-edik

A_{l}

és a

C

csúcstól számított

m

-edik

B_{m}

osztópontot a szemközti csúccsal összekötő szakaszok. Ekkor Ceva tétele szerint (lásd pl. Geometriai feladatok gyűjteménye I., 1263. feladat):

\begin{matrix} \frac{A C_{k}}{C_{k} B} \cdot \frac{B A_{l}}{A_{l} C} \cdot \frac{C B_{m}}{B_{m} A} = 1, \end{matrix}

vagyis:

\begin{matrix} \frac{k}{p - k} \cdot \frac{l}{p - l} \cdot \frac{m}{p - m} = 1. \end{matrix}

Ezt rendezve kapjuk, hogy:

\begin{matrix} 2 k l m = p [p^{2} - p (k + l + m) + k l + l m + m k] . \end{matrix}

A bal oldalon álló

2, k, l, m

számok mindegyike kisebb

p

-nél, ezért szorzatuk nem lehet a

p

prímszámmal osztható, tehát ez az egyenlőség nem állhat fenn. Ezért feltevésünk hibás, vagyis a szakaszok között nincs három egy ponton átmenő. A háromszög belsejében lévő metszéspontok száma így valóban

3 {(p - 1)}^{2}

Szüts Dávid (Bp., Fazekas M. Gyak. Gimn., II. o. t.) dolgozata alapján