Feladat: Gy.2514 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Csörnyei Marianna 
Füzet: 1989/május, 213 - 214. oldal  PDF file
Témakör(ök): Szögfelező egyenes, Hozzáírt körök, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül háromszögekben, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1988/november: Gy.2514

Az ABC háromszög B-nél levő szöge 120. Az ABC szög szögfelezője az AC oldalt M-ben, a BCA szög külső szögfelezője az AB oldalegyenest P-ben metszi. Az MP szakasz a BC oldalt K-ban metszi. Bizonyítsuk be, hogy az AKM=30.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A bizonyítás során felhasználjuk azt az ismert tételt, hogy egy háromszög hozzáírt körének a középpontja rajta van az egyik szög belső és a másik két szög külső szögfelezőjén, vagyis ez a három egyenes egy pontban metszi egymást.

 
 

Az MBC háromszögben MBC=60, továbbá CBP=180-ABC=60, ezért a BP egyenes felezi e háromszög B csúcsánál levő 120-os külső szöget. Ugyanakkor a C-nél levő külső szög felezője a CP egyenes, tehát P két külső szögfelezőnek a metszéspontja. Ezért az említett tétel alapján a PM egyenes megegyezik az MBC háromszög M csúcsához tartozó belső szögfelezőjével, azaz BMP=PMC. Hasonlóan az ABM háromszögben BK és MK külső szögfelezők, ezért az AK egyenes belső szögfelező, vagyis BAK=MAK. Jelöljük ezt a szöget α-val. Ekkor:
AMB=180-(ABM+BAM)=180-(60+2α)=120-2α,
így
BMK=12BMC=12(180-AMB)=12(60+2α)=30+α,
tehát
AKM=180-(KAM+KMA)=180-(α+BMK+AMB)==180-(α+(30+α)+(120-2α))=30.


Ezzel állításunkat bebizonyítottuk.
 

 Csörnyei Marianna (7. o. t., Budapest, Budenz Úti Ált. Isk.)
 dolgozata alapján