Kezdőlap


Feladat:	Gy.2514	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Csörnyei Marianna
Füzet:	1989/május, 213 - 214. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Szögfelező egyenes, Hozzáírt körök, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül háromszögekben, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1988/november: Gy.2514

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A bizonyítás során felhasználjuk azt az ismert tételt, hogy egy háromszög hozzáírt körének a középpontja rajta van az egyik szög belső és a másik két szög külső szögfelezőjén, vagyis ez a három egyenes egy pontban metszi egymást.

M B C

háromszögben

M B C ∢ = 60^{\circ}

, továbbá

C B P ∢ = 180^{\circ} - A B C ∢ = 60^{\circ}

, ezért a BP egyenes felezi e háromszög

B

csúcsánál levő

120^{\circ}

-os külső szöget. Ugyanakkor a

C

-nél levő külső szög felezője a

C P

egyenes, tehát

P

két külső szögfelezőnek a metszéspontja. Ezért az említett tétel alapján a

P M

egyenes megegyezik az

M B C

háromszög

M

csúcsához tartozó belső szögfelezőjével, azaz

B M P ∢ = P M C ∢

. Hasonlóan az

A B M

háromszögben

B K

és

M K

külső szögfelezők, ezért az

A K

egyenes belső szögfelező, vagyis

B A K ∢ = M A K ∢

. Jelöljük ezt a szöget

α

-val. Ekkor:

\begin{matrix} A M B ∢ = 180^{\circ} - (A B M ∢ + B A M ∢) = 180^{\circ} - (60^{\circ} + 2 α) = 120^{\circ} - 2 α, \end{matrix}

így

\begin{matrix} B M K ∢ = \frac{1}{2} B M C ∢ = \frac{1}{2} (180^{\circ} - A M B ∢) = \frac{1}{2} (60^{\circ} + 2 α) = 30^{\circ} + α, \end{matrix}

tehát

\begin{matrix} A K M ∢ = 180^{\circ} - (K A M ∢ + K M A ∢) = 180^{\circ} - (α + B M K ∢ + A M B ∢) = \\ = 180^{\circ} - (α + (30^{\circ} + α) + (120^{\circ} - 2 α)) = 30^{\circ} . \end{matrix}

Ezzel állításunkat bebizonyítottuk.

Csörnyei Marianna (7. o. t., Budapest, Budenz Úti Ált. Isk.)
dolgozata alapján