Feladat: Gy.2299 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Bágyi Kinga ,  Bangha K. ,  Binder Zsuzsanna ,  Csémi L. ,  Csépke T. ,  Csordás Z. ,  Erdős A. ,  Hatoss Zs. ,  Markotics B. ,  Szabó 23 L. ,  Szabó 393 T. ,  Tornyi L. ,  Újvári Judit 
Füzet: 1986/május, 212 - 213. oldal  PDF file
Témakör(ök): Alakzatok szimmetriái, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül körökben, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1985/november: Gy.2299

Két kör érinti egymást a P pontban. Húzzunk egy egyenest, amelyik az egyik kört érinti, a másikat pedig metszi. Az érintési pontot jelölje E, a metszéspontokat pedig Q és R. Bizonyítsuk be, hogy az E pont egyenlő távolságra van a PQ és a PR egyenesektől.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Két esetet kell vizsgálnunk aszerint, hogy a két kör kívülről vagy belülről érinti egymást (lásd az ábrákat).

 
 
1/a ábra
 

 
 
1/b ábra
 

Mindkét esetben jelölje S a QR egyenes és a két kört a P pontban érintő egyenes metszéspontját, R' pedig a PR egyenes és az R pontot nem tartalmazó kör P-től különböző metszéspontját! Az R' pont nyilván mindig létrejön, az S pont viszont abban az esetben nem, ha a két kör belülről érinti egymást és EP ‐ közös ‐ átmérő (1 /a ábra). Ekkor az ábra az EP egyenesre szimmetrikus, és így az állítás igaz. Elegendő megmutatnunk, hogy a PE egyenes felezi a QPR'-et, mert ez pontosan azt jelenti, hogy E egyenlő távol van a PQ és PR egyenesektől.
Mindkét esetben igaz, hogy
SPE=SEP=α,
mert azonos ívhez tartozó érintő szárú kerületi szögek, valamint
PRQ=QPS=β,
mert mindkettő a PQ ívhez tartozó kerületi szög.
Ha a két kör belülről érinti egy mást (l. ábra), akkor az EPR háromszögben felírva a szögek összegét:
EPR'+PER+ERP=180.
Felhasználva, hogy
PER=180-SEPésERP=QRP;EPR'=180-PER-QRP=180-(180-α)-β=α-β.
Másrészt nyilván
EPQ=SPE-QPS=α-β.
Tehát ebben az esetben a PE egyenes szögfelezője az RP és QP egyeneseknek.
 
 
2. ábra
 

Ha a két kör kívülről érinti egymást (2. ábra), akkor az EPR' az EPR háromszög P csúcsánál levő külső szöge, tehát:
EPR'=PRQ+SEP=β+α.
Másrészt nyilván
EPQ=SPE+QPS=α+β.
Tehát a PE egyenes ebben az esetben is szögfelező.
Ezzel az állítást mindkét esetben igazoltuk.
 
Megjegyzés. A beküldők nagy része csak azt az esetet vizsgálta, amikor a két kör kívülről érinti egymást. Ezek a dolgozatok nem kapták meg a teljes pontszámot.