Kezdőlap


Feladat:	Gy.2299	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Bágyi Kinga , Bangha K. , Binder Zsuzsanna , Csémi L. , Csépke T. , Csordás Z. , Erdős A. , Hatoss Zs. , Markotics B. , Szabó 23 L. , Szabó 393 T. , Tornyi L. , Újvári Judit
Füzet:	1986/május, 212 - 213. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Alakzatok szimmetriái, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül körökben, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1985/november: Gy.2299

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Két esetet kell vizsgálnunk aszerint, hogy a két kör kívülről vagy belülről érinti egymást (lásd az ábrákat).

1/a ábra

1/b ábra

Mindkét esetben jelölje

S

Q R

egyenes és a két kört a

P

pontban érintő egyenes metszéspontját,

R'

pedig a

P R

egyenes és az

R

pontot nem tartalmazó kör

P

-től különböző metszéspontját! Az

R'

pont nyilván mindig létrejön, az

S

pont viszont abban az esetben nem, ha a két kör belülről érinti egymást és

E P

‐ közös ‐ átmérő (1 /a ábra). Ekkor az ábra az

E P

egyenesre szimmetrikus, és így az állítás igaz. Elegendő megmutatnunk, hogy a

P E

egyenes felezi a

Q P R' ∢

-et, mert ez pontosan azt jelenti, hogy

E

egyenlő távol van a

P Q

és

P R

egyenesektől.
Mindkét esetben igaz, hogy

\begin{matrix} S P E ∢ = S E P ∢ = α, \end{matrix}

mert azonos ívhez tartozó érintő szárú kerületi szögek, valamint

\begin{matrix} P R Q ∢ = Q P S ∢ = β, \end{matrix}

mert mindkettő a

P Q

ívhez tartozó kerületi szög.
Ha a két kör belülről érinti egy mást (l. ábra), akkor az

E P R

háromszögben felírva a szögek összegét:

\begin{matrix} E P R' ∢ + P E R ∢ + E R P ∢ = 180^{\circ} . \end{matrix}

Felhasználva, hogy

\begin{matrix} P E R ∢ = 180^{\circ} - S E P ∢ és E R P ∢ = Q R P ∢; \\ E P R' ∢ = 180^{\circ} - P E R ∢ - Q R P ∢ = 180^{\circ} - (180^{\circ} - α) - β & = α - β . \end{matrix}

Másrészt nyilván

\begin{matrix} E P Q ∢ = S P E ∢ - Q P S ∢ = α - β . \end{matrix}

Tehát ebben az esetben a

P E

egyenes szögfelezője az

R P

és

Q P

egyeneseknek.

2. ábra

Ha a két kör kívülről érinti egymást (2. ábra), akkor az

E P R' ∢

E P R

háromszög

P

csúcsánál levő külső szöge, tehát:

\begin{matrix} E P R' ∢ = P R Q ∢ + S E P ∢ = β + α . \end{matrix}

Másrészt nyilván

\begin{matrix} E P Q ∢ = S P E ∢ + Q P S ∢ = α + β . \end{matrix}

Tehát a

P E

egyenes ebben az esetben is szögfelező.
Ezzel az állítást mindkét esetben igazoltuk.

Megjegyzés. A beküldők nagy része csak azt az esetet vizsgálta, amikor a két kör kívülről érinti egymást. Ezek a dolgozatok nem kapták meg a teljes pontszámot.