Feladat: Gy.2254 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Madas Pál ,  Szilágyi András 
Füzet: 1986/január, 12 - 13. oldal  PDF file
Témakör(ök): Algebrai átalakítások, Szorzat, hatványozás azonosságai, Irracionális egyenlőtlenségek, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenlőtlenségek, Egyenlőtlenségek, Számtani-mértani egyenlőtlenségek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1985/március: Gy.2254

Bizonyítsuk be, hogy ha a és b nem negatív számok, akkor
12(a+b)2+14(a+b)ab+ba.(1)

I. megoldás. Mindkét oldalon 4-gyel szorozva, rendezés után a bizonyítandóval ekvivalens
2a2+4ab+2b2+a+b-4ab-4ba0(1)
egyenlőtlenséget kapjuk.
A bal oldalon 4ab=-4ab+4ab+4ab felbontás után különbségek négyzetét, pontosabban ilyenek számszorosait ismerhetjük fel. Valóban :
2a2-4ab+2b2+a(1-4b+4b)+b(1-4a+4a)==2(a-b)2+a(1-2b)2+b(1-2a)2.



A feltétel szerint sem a, sem pedig b nem negatív, így (1) bal oldalán nem negatív mennyiségek összege áll. Ezzel a bizonyítást befejeztük.
 

 Madas Pál (Bp., ELTE Apáczai Csere J. Gimn. II. o. t.)
 

II. megoldás. A szóban forgó egyenlőtlenség mindkét oldala szorzattá alakítható, így
[12(a+b)](12+a+b)ab(a+b)(2)
adódik.
A feltétel szerint a tényezők egyike sem negatív, így elegendő megmutatni, hogy a bal oldal "tényezőnként nagyobb'' a jobb oldalnál.
Az első tényezők között fennálló
12(a+b)ab
egyenlőtlenség a számtani és mértani közép közti ismert egyenlőtlenség két tagra (a és b nem negatív). Be kell még látnunk, hogy a második tényezők között is hasonló irányú egyenlőtlenség áll fenn, azaz
12+a+ba+b.
Ez például az első megoldás módszerével igazolható. Rendezés után
(12+a+b)-(a+b)=14+a-a+14+b-b=(12-a)2+(12-b)2,
ami nem lehet negatív.
 

 Szilágyi András (Bp., Fazekas M. Gyak. Gimn., II. o. t.)
 

Megjegyzés. Mindkét megoldásból leolvasható, hogy egyenlőség csak az a=b=14 és az a=b=0 esetekben áll fenn.