Kezdőlap


Feladat:	Gy.2254	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Madas Pál , Szilágyi András
Füzet:	1986/január, 12 - 13. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Algebrai átalakítások, Szorzat, hatványozás azonosságai, Irracionális egyenlőtlenségek, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenlőtlenségek, Egyenlőtlenségek, Számtani-mértani egyenlőtlenségek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1985/március: Gy.2254

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Mindkét oldalon $4$ -gyel szorozva, rendezés után a bizonyítandóval ekvivalens

\begin{matrix} 2 a^{2} + 4 a b + 2 b^{2} + a + b - 4 a \sqrt[]{b} - 4 b \sqrt[]{a} ≧ 0 \end{matrix}

(1)

egyenlőtlenséget kapjuk.
A bal oldalon

4 a b = - 4 a b + 4 a b + 4 a b

felbontás után különbségek négyzetét, pontosabban ilyenek számszorosait ismerhetjük fel. Valóban :

\begin{matrix} 2 a^{2} - 4 a b + 2 b^{2} + a (1 - 4 \sqrt[]{b} + 4 b) + b (1 - 4 \sqrt[]{a} + 4 a) = \\ = 2 {(a - b)}^{2} + a {(1 - 2 \sqrt[]{b})}^{2} + b {(1 - 2 \sqrt[]{a})}^{2} . \end{matrix}

A feltétel szerint sem

a

, sem pedig

b

nem negatív, így (1) bal oldalán nem negatív mennyiségek összege áll. Ezzel a bizonyítást befejeztük.

II. megoldás. A szóban forgó egyenlőtlenség mindkét oldala szorzattá alakítható, így

\begin{matrix} [\frac{1}{2} (a + b)] (\frac{1}{2} + a + b) ≧ \sqrt[]{a b} (\sqrt[]{a} + \sqrt[]{b}) \end{matrix}

(2)

adódik.
A feltétel szerint a tényezők egyike sem negatív, így elegendő megmutatni, hogy a bal oldal "tényezőnként nagyobb'' a jobb oldalnál.
Az első tényezők között fennálló

\begin{matrix} \frac{1}{2} (a + b) ≧ \sqrt[]{a b} \end{matrix}

egyenlőtlenség a számtani és mértani közép közti ismert egyenlőtlenség két tagra (

a

és

b

nem negatív). Be kell még látnunk, hogy a második tényezők között is hasonló irányú egyenlőtlenség áll fenn, azaz

\begin{matrix} \frac{1}{2} + a + b ≧ \sqrt[]{a} + \sqrt[]{b} . \end{matrix}

Ez például az első megoldás módszerével igazolható. Rendezés után

\begin{matrix} (\frac{1}{2} + a + b) - (\sqrt[]{a} + \sqrt[]{b}) = \frac{1}{4} + a - \sqrt[]{a} + \frac{1}{4} + b - \sqrt[]{b} = {(\frac{1}{2} - \sqrt[]{a})}^{2} + {(\frac{1}{2} - \sqrt[]{b})}^{2}, \end{matrix}

ami nem lehet negatív.

Megjegyzés. Mindkét megoldásból leolvasható, hogy egyenlőség csak az

a = b = \frac{1}{4}

és az

a = b = 0

esetekben áll fenn.